Câu BĐT cơ bản:
Cho a,b,c không âm. Chứng minh rằng:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 11 2019
1 ) \(â+b\ge2\sqrt{ab}\)
Tương tự : \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân vế theo vế của 3 bpt dc dpcm
Dấu = xảy ra khi a = b = c
2) Nhân 2 vế bpt vs abc
Cm như 1)
3) \(a+2\ge2\sqrt{2a}\)
\(b+8\ge2\sqrt{8b}\)
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Nhân vế theo vế của 3 bpt dc dpcm
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=8\\a=b\end{matrix}\right.\) (vô lí)
nên k xảy ra đẳng thức
AA
18
22 tháng 3 2021
Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được
a+b\ge2\sqrt{ab}a+b≥2ab ; b+c\ge2\sqrt{bc}b+c≥2bc ; c+a\ge2\sqrt{ca}c+a≥2ca
Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được đpcm.
5 tháng 7 2021
Theo bất đẳng thức Cô si ta có : a+b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
b+c ≥ \(2\sqrt{bc}\) , c+a ≥ \(2\sqrt{ac}\)
Nhân từng vế của 3 bất đẳng thức cho nhau ta được
(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8\(\sqrt{(a)^{2}(b)^{2}(c)^{2}}\)
=> (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc
7 tháng 5 2019
Vì \(a\ge0\),\(b\ge0\),\(c\ge0\),áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương a,b,c ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ac}\)
Nhân từng vế bđt trên =>đpcm
J
7 tháng 5 2019
\(\text{có:}\frac{k}{n}+\frac{n}{k}\ge2\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2\sqrt{\frac{k}{n}}.\sqrt{\frac{n}{k}}+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{k}{n}}-\sqrt{\frac{n}{k}}\right)^2\ge0\forall k,n>0\)
\(\left(a+b\right).\left(b+c\right).\left(c+a\right)\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+ac+b^2+bc\right).\left(a+c\right)\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+abc+abc+ac^2+b^2c+bc^2\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow2+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\ge8\)
\(\Leftrightarrow2+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge8\)(luôn đúng với mọi a,b,c >=0)
30 tháng 7 2020
Đặt a2 = x; b2 = y; c2 = z
Khi đó, ta có: (x + y)(y + z)(z + x) \(\ge\)xyz
<=> (xy + xz + y2 + yz)(z + x) - 8xyz \(\ge\)0
<=> xyz + xz2 + y2z + yz2 + x2y + x2z + y2x + xyz - 8xyz \(\ge\)0
<=> (xz2 +xy2) + (y2z + zx2) + (yz2 + yx2) - 6xyz \(\ge\)0
<=> (xz2 - 2xyz + xy2) + (y2z + zx2 - 2xyz) + (yz2 + yx2 - 2xyz) \(\ge\)0
<=> x(z2 - 2yz + y2) + z(y2 + x2 - 2xy) + y(z2 + x2 - 2xz) \(\ge\) 0
<=> x(z - y)2 + z(y - x)2 + y(z - x)2 \(\ge\)0
hay a2(c2 - b2)2 + c2(b2 - a2)2 + b2(c2 - a2)2 \(\ge\)0 (luôn đúng với mọi a;b;c)
=> Đpcm
PN
30 tháng 7 2020
Đặt \(a^2;b^2;c^2\rightarrow x;y;z\left(x;y;z\ge0\right)\)
Khi đó bài toán trở thành \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)
\(< =>\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-8xyz\ge0\)
\(< =>a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)hay \(a^2=b^2=c^2\)
NT
1
26 tháng 8 2017
Do a;b;c > 0 ; Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\) (đpcm)
KK
8 tháng 4 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
8 tháng 2 2020
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
a) \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\ge4abcd\)
b) \(a^2+1\ge2a,b^2+1\ge2b,c^2+1\ge2c\)
\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge8abc\)
c) \(a^2+4\ge4a,b^2+4\ge4b,c^2+4\ge4c,d^2+4\ge4d\)
\(\Rightarrow\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge256abcd\)
8 tháng 2 2020
a) \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left[\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right]\ge2\cdot2abcd=4abcd\)
b) \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a\cdot2b\cdot2c=8abc\)
c) \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a\cdot4b\cdot4c\cdot4d=256abcd\)
10 tháng 8 2019
a,b,c khong am nen (ab+bc+ca)...>=9/4 co the dung don bien nhe ban
con cau tra loi thi khong bit
NK
10 tháng 8 2019
nguyễn xuân trợ: bớt xàm đi bạn, cái bạn hỏi đã bảo chúng ta dùng phương pháp dồn biến rồi nha!
Dùng BĐT phụ:
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Ta có:\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64\left(abc\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\left(dpcm\right)\)