Cho các số thực x,y,a,b thỏa mãn x+y=a+b,xy=ab. Chứng minh rằng \(x^n+y^n=a^n+b^n\) với mọi số tự nhiên n
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
28 tháng 6 2019
Ta có
x+y=a+b <=> x- a= b+y (1)
x^2 +y^2 = a^2 +b^2
<=> x^2 - a^2 = b^2 -y^2
<=> (x+ a) ( x+a) = ( b-y) (b+y)
Nếu x-a= b-y = 0 thì x= a và y =b => x^n + y^n = a^ n+ b^ n
Nêu x- a = b-y \(\ne\)0 thì x+ a=b+ y ( chia hai vế theo biểu thức cho x-a vag b-y tương ứng )
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được x=b ; y= a
<=> x^ n+ y^ n= a^n + b^ n.
=> ĐPCM
27 tháng 2 2020
a) Ta có: \(2018^n-1964^n⋮3\)
\(2032^n-1984^n⋮3\)
nên An chia hết cho 3
Mà \(2018^n-1984^n⋮17\)
\(2032^n-1964^n⋮17\)
nên An chia hết cho 17
Vậy A chia hết cho 51
27 tháng 2 2020
b) Ta có: An đồng dư 3^n +2^n-2.4^n (mod5)
và An đồng dư 2^n + 7^n -2^n-4^n (mod9)
Vậy An chia hết cho 45 khi n có dạng 12k
13 tháng 9 2016
Giúp mình nhé mình sẽ tích ngay cho các bạn bây giờ mình đang rất cần
21 tháng 11 2015
d 10^n+72^n -1
=10^n -1+72n
=(10-1) [10^(n-1)+10^(n-2)+ .....................+10+1]+72n
=9[10^(n-1)+10^(n-2)+..........................-9n+81n
26 tháng 4 2020
\(ab=cd\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\Rightarrow a=ck;b=dk\)
\(\Rightarrow ab=cd\Leftrightarrow cdk^2-cd=0\)
\(\Leftrightarrow cd\left(k^2-1\right)=0\Leftrightarrow k=\pm1\)
\(\left(+\right)k=1\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=1\Leftrightarrow a=c;b=d\)
\(\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n=2a^n+2b^n\ge4\forall a,b>0\)
và \(2a^n+2b^n⋮2\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số
\(\left(+\right)k=-1\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=-1\Leftrightarrow a=-c;b=-d\)( vô lí )
Vì \(a,b,c,d>0\)
Vậy \(A=a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số
XO
18 tháng 10 2020
Ta có (a + b + c)2 \(\ge0\forall a;b;c\inℝ\)
=> a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca \(\ge\)0
=> a2 + b2 + c2 \(\ge\)0 - (2ab + 2bc + 2ca)
=> a2 + b2 + c2 \(\le\)2ab + 2bc + 2ca
=> a2 + b2 + c2 \(\le\)2(ab + bc + ca)
Dấu "=" xảy ra <=> a + b + c = 0
18 tháng 10 2020
Xí bài 2 ý a) trước :>
4x2 + 2y2 + 2z2 - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0
<=> ( 4x2 - 4xy + y2 - 4xz + 2yz + z2 ) + ( y2 - 6y + 9 ) + ( z2 - 10z + 25 ) = 0
<=> [ ( 4x2 - 4xy + y2 ) - 2( 2x - y )z + z2 ] + ( y - 3 )2 + ( z - 5 )2 = 0
<=> [ ( 2x - y )2 - 2( 2x - y )z + z2 ] + ( y - 3 )2 + ( z - 5 )2 = 0
<=> ( 2x - y - z )2 + ( y - 3 )2 + ( z - 5 )2 = 0
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(2x-y-z\right)^2\\\left(y-3\right)^2\\\left(z-5\right)^2\end{cases}}\ge0\forall x,y,z\Rightarrow\left(2x-y-z\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x-y-z=0\\y-3=0\\z-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=3\\z=5\end{cases}}\)
Thế vào T ta được :
\(T=\left(4-4\right)^{2014}+\left(3-4\right)^{2014}+\left(5-4\right)^{2014}\)
\(T=0+1+1=2\)
18 tháng 3 2017
Lớp 6 khó vậy sao?
ab=cd (*)
a=b=c=d=1 => A=4=2.2 đúng
a=[c,d]
b=[c,d]
a,b,c,d, vai trò như nhau
g/s a=c; b=d
A=2a^2+2b^2 =2.(a^2+b^2) => A hợp số
với a,b,c,d >1, và a,b,c,d khác nhau
ta có
đảm bảo (*)
( không tồn tại ab=cd khác nhau mà nguyên tố)
g/s a và c có ước lớn nhất p
ta có a=x.p và c=y.p ( do p lớn nhất => (x,y)=1)(**)
từ ab=cd=> x.p.b=y.p.d
từ (**)=> b=y.q và d=x.q
thay hết vào A
A=x^n .p^n+y^n.q^n^n+y^n.p^n+x^n.q^n =x^n(p^n+q^n)+y^n(p^n+q^n)=(x^n+y^n)(p^n+q^n)
A=B.C --> dpcm
8 tháng 2 2021
Ta có: \(ab=cd\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{d}{b}\)
Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k\left(k\inℕ\right)\)
Ta xét 2 TH sau:
Nếu k = 1 => \(\hept{\begin{cases}a=c\\b=d\end{cases}}\) \(\Rightarrow A=a^n+b^n+c^n+d^n=2\left(a^n+b^n\right)\) chia hết cho 2 và lớn hơn 2
=> A là hợp số
Nếu k khác 1 thì ta có: \(\hept{\begin{cases}a=ck\\d=bk\end{cases}\left(k\inℕ^∗\right)}\)
Thay vào: \(A=a^n+b^n+c^n+d^n=\left(ck\right)^n+b^n+c^n+\left(bk\right)^n\)
\(=c^n\left(k^n+1\right)+b^n\left(k^n+1\right)=\left(b^n+c^n\right)\left(k^n+1\right)\) là hợp số
=> đpcm
Ta có: xy = ab <=> \(\frac{x}{a}=\frac{b}{y}\)(a; y \(\ne\)0)
Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{b}{y}=k\) => \(\hept{\begin{cases}x=ak\\b=yk\end{cases}}\)(*)
Khi đó: x + y = a + b <=> ak + y = a + yk
<=> ak - a + y - yk = 0
<=> a(k - 1) - y(k - 1) = 0
<=> (a - y)(k - 1) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a=y\\k=1\end{cases}}\)
Với a = y => b = x
<=> an = yn (1) và bn = xn (2) (x \(\in\)N)
Từ (1) và (2) cộng vế theo vế : an + bn = yn + xn
Với k = 1 thay vào (*) => \(\hept{\begin{cases}x=a\\b=y\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x^n=a^n\\y^n=b^n\end{cases}}\) => xn + yn = an + bn
=> đpcm