Cho các số dương a , b, c thỏa mãn điều kiện : a + b + c =1
CMR : \(\frac{a}{1+9b^2}+\frac{b}{1+9c^2}+\frac{c}{1+9a^2}\ge\frac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
2 tháng 2 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: \(\frac{a}{1+9b^2}+\frac{b}{1+9c^2}+\frac{c}{1+9a^2}=\left(a-\frac{9ab^2}{1+9b^2}\right)+\left(b-\frac{9bc^2}{1+9c^2}\right)+\left(c-\frac{9ca^2}{1+9a^2}\right)\)\(\ge\left(a-\frac{9ab^2}{6b}\right)+\left(b-\frac{9bc^2}{6c}\right)+\left(c-\frac{9ca^2}{6a}\right)=\left(a+b+c\right)-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}\)\(\ge\left(a+b+c\right)-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3
MH
17 tháng 2 2023
Ta có: \(\dfrac{a}{1+9b^2}=a-\dfrac{9ab^2}{1+9b^2}\ge a-\dfrac{3ab}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(\text{Σ}\dfrac{a}{1+9b^2}\ge a+b+c-\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}\ge a+b+c-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)
(Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương, ta có:
\(\text{ }ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\Rightarrow3\left(\text{ }ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\))
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 5 2020
Ta có:
\(\frac{1+a}{1+9b^2}=a+1-\frac{9b^2\left(a+1\right)}{1+9b^2}\ge a+1-\frac{9b^2\left(a+1\right)}{2\sqrt{9b^2}}=a+1-\frac{3b\left(a+1\right)}{2}\)
Tương tự: \(\frac{1+b}{1+9c^2}\ge b+1-\frac{3c\left(1+b\right)}{2}\) ; \(\frac{1+c}{1+9a^2}\ge c+1-\frac{3a\left(c+1\right)}{2}\)
Cộng vế với vế:
\(Q\ge4-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
\(Q\ge\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
20 tháng 2 2020
Sửa đề: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{ab+b+2}+\frac{1}{bc+c+2}+\frac{1}{ca+a+2}\le\frac{3}{4}\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{ab+b+2}=\frac{1}{ab+1+b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{b+1}\right)\) \(=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab\left(1+c\right)}+\frac{1}{b+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{1+c}+\frac{1}{b+1}\right)\)
Tương tự \(\frac{1}{bc+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)
\(\frac{1}{ca+a+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\right)=\frac{3}{4}\)
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
\(VT=\frac{a}{1+9b^2}+\frac{b}{1+9c^2}+\frac{c}{1+9a^2}\)
\(VT=a-\frac{9ab^2}{1+9b^2}+b-\frac{9bc^2}{1+9c^2}+c-\frac{9ca^2}{1+9a^2}\)
\(VT\ge a+b+c-\left(\frac{9ab^2}{6b}+\frac{9bc^2}{6c}+\frac{9ca^2}{6a}\right)\)
\(VT\ge1-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
\(VT\ge1-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)