chứng minh rằng
\(\sqrt{\frac{b+c}{a}}-\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}< \frac{\frac{b+c}{2}+1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 12 2020
\(VT=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}\)
\(VT< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+b}{a+b+c}=2\)
\(VP=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}\)
\(VP\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow VP>VT\) (đpcm)
31 tháng 8 2018
Ta có: Theo bất đẳng thức cauchy schwarz và bất đẳng thức cauchy với a;b;c>0 ta có:
\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{a^3}+\dfrac{1}{a^2}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{a^3+a^2}\ge\dfrac{4\sqrt{a}}{a^3+a^2}\)(1)
Tương tự \(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{4\sqrt{b}}{b^3+b^2}\left(2\right);\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{4\sqrt{c}}{c^3+c^2}\left(3\right)\)
Cộng từng vế (1) ;(2);(3) vế theo vế rồi chia hai vế cho 2 ta có đpcm
9 tháng 9 2018
ta có : \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{a}{a^3}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{a^3+b^2}=\dfrac{a^2+2\sqrt{a}+1}{a^3+b^2}\ge\dfrac{4\sqrt{a}}{a^3+b^2}\)
làm tương tự ta có : \(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{4\sqrt{b}}{b^3+c^2}\) và \(\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}\ge\dfrac{4\sqrt{c}}{c^3+a^2}\)
cộng quế theo quế \(\Rightarrow\) (đpcm)
9 tháng 9 2018
bạn làm sai rồi
cái dòng đầu tiên í
\(\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{a^3+b^2}\ne\dfrac{a^2+2\sqrt{a}+1}{a^3+b^2}\)
30 tháng 7 2018
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a}{a^3}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{a^3+b^2}\ge\frac{4\sqrt{a}}{a^3+b^2}\)
Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ có đpcm. dấu = xảy ra khi a=b=c=1
T
20 tháng 3 2020
Sửa đề: \(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\ge\sqrt{2}\left(\Sigma\sqrt{\frac{1-a}{a}}\right)\)
or \(\Sigma\frac{b+c}{a}\ge\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}\)
Theo AM-GM:\(\frac{b+c}{a}\ge2\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}-2\)
Tương tự và cộng lại: \(VT\ge2\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}-6\)
Mà: \(\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}\ge3\sqrt[6]{\frac{8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\ge6\)
Từ đó: \(VT\ge2\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}-\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}=VP\)
Done!
25 tháng 9 2017
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
VT
21 tháng 10 2019
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
Mình nghĩ bài bạn gõ nhầm đề. Vế trái của BĐT có giá trị bằng $0$. Vế phải nếu $b+2< -2$ thì BĐT sai. Nên là bạn xem lại đề.