Cho a,c,b dương thỏa mãn \(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=12\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)\)
CMR \(\frac{1}{4A+B+C}+\frac{1}{4B+A+C}+\frac{1}{AC+A+B}\le\frac{1}{6}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 3 2019
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\Rightarrow3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-3\le0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le1\)
\(\sum\frac{1}{a+a+a+a+b+c}\le\frac{1}{36}\sum\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
VD
8 tháng 7 2016
bài 2 thì bạn áp dụng bdt cô si với lựa chọn điểm rơi hoặc bdt holder ( nó giống kiểu bunhia ngược ) . bai 1 thi ap dung cai nay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{1}{x+y}\) câu 1 khó hơn nhưng bạn biết lựa chọn điểm rơi với áp dụng bdt phụ kia là ok .
TN
9 tháng 7 2016
Bài 1:Đặt VT=A
Dùng BĐT \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)x,y,z>0\)
Áp dụng vào bài toán trên với x=a+c;y=b+a;z=2b ta có:
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
Tương tự với 2 cái còn lại
\(A\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc+ac}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Biến đổi BPT \(4\left(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\right)\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Dự đoán điểm rơi xảy ra khi a=b=c=1
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)
Tương tự suy ra
\(VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)-3}{4}\ge\frac{2\cdot3\sqrt{abc}-3}{4}=\frac{3}{4}\)
LT
10 tháng 12 2017
Ta có \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)\(\Rightarrow3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le3\Leftrightarrow abc\le1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}\le\frac{1}{abc+a^2\left(b+c\right)}\)\(=\frac{1}{a\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{3a}\)
\(CMTT\Rightarrow\frac{1}{1+b^2\left(c+a\right)}\le\frac{1}{3b}\)
\(\frac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{3c}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\)\(=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2019
Câu hỏi của Ngoc An Pham - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
AR
23 tháng 3 2019
bạn giải thích cặn kẽ hơn giúp mình cách làm đấy đc ko ? ( Giải đc theo cách lớp 8 thì càng tốt nhé !! )
TH
6 tháng 4 2015
Dat A la bieu thuc cho truoc ve trai
tu gia thiet => a(b+c)=3-bc
ta co: 1+a^2(b+c)= 1+a.a.(b+c) = 1+a.(3-bc) = 1+3a-abc
cmtt ta co : 1+b^2(a+c)=1+b.b(a+c)=1+3b-abc
Va: 1+c^2(a+b)=1+3c-abc
Ap dung bdt Cosi cho 3 so ta co
ab+ac+bc >= 3.can bac 3(a^2.b^2.c^2)
=> 3>= 3.can bac 3(a^2.b^2.c^2)
=> a^2.b^2.c^2<=1
=> abc<=1
=> 1+3a-abc>=3a
cmtt 1+3b-abc>=3b
1+3c-abc>=3c
=> A<=1/3a+1/3b+1/3c=(bc+ac+ab)/3abc=1/abc
PH
18 tháng 9 2016
cho 2 số thực a , b phân biệt thỏa mãn a^2 +3a=b^2 +3b=2
c/m: a, a+b=-3 b,a^3+b^3=-45