Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AH, BH. Gọi O là giao điểm của AN và CM. Chứng minh:
a) △ABH ∼ △CAH
b) △ABN ∼ △CAM
c) AN ⊥ CM
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: Xét ΔABH vuông tại H và ΔCAH vuông tại H có
góc ABH=góc CAH
=>ΔABH đồng dạng với ΔCAH
AH=căn 9*16=12cm
S ABC=1/2*12*25=150cm2
2: Xét ΔHAC có HM/HA=HN/HC
nên MN//AC
=>MN vuông góc AB
Xét ΔNAB có
NM,AH là đường cao
NM cắt AH tại M
=>M là trực tâm
=>BK vuông góc AN
Xét ΔHAB có
M là trung điểm của AH(gt)
N là trung điểm của BH(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔHBA(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
Suy ra: MN//AB và \(MN=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
hay MN\(\perp\)AC(đpcm)
Tự vẽ hình.
a) Dễ CM được \(\Delta AHB\sim\Delta CBA\) (g.g )
=> \(\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow\dfrac{2BN}{2AM}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{AB}{AC}\)
Xét tam giác BHN vuông tại H => góc B + góc BAH = 90 độ
Mà góc BAH + góc HAC = 90 độ => góc B = góc HAC
Xét tam giác ABN và tam giác CAM có:
góc B = góc HAC, \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{AB}{AC}\)
=> Tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAM (c.g.c)
b) Vì tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAM
=> góc BAN = góc ACM
Mà góc BAN + góc OAC = 90 độ
=> góc ACM + góc OAC = 90 độ
=> góc COA = 90 độ
=> AN vuông góc với CM
c) Dễ chứng minh được tam giác OMA đồng dạng với tam giác HMC (g.g)
=> \(\dfrac{CM}{MA}=\dfrac{HM}{MO}\Rightarrow CM.MO=HM.MA\)
Mà HM = MA => CM.MO = \(AM^2\)
=> 4.CM.MO = 4.\(AM^2=\left(2AM\right)^2=AH^2\)
=> \(AH^2=4.MO.MC\)
Goi giao NM voi AC la D
Xet tam giac BHA co N la trung diem BH , M la trung diem AH
=> NM la duong trung binh => NM // AB
ma AB vuong goc voi AC (gt)
Suy ra NM vuong goc voi AC ( tu vuong goc den song song)
Xet tam giac NAC co AH vuong goc voi NC (gt)
NM vuong goc voi AC ( cmt)
=> M la truc tam tam giac ANC
=> CM vuong goc voi AN
DPCM
vì câu b dùng đến trực tâm Q nên => PQ vuông góc với AB
=> PM vuông góc với AB (M thuộc PQ)
Xét tam giác BHQ và tam giác BNP có
góc B chung
BHQ = BNP =90
=> đồng dạng (gg)(bạn tự viết đầy đủ nhé vì nó khá dài nên mk viết tắt nhé )
=> BH/BN=BQ/BP ( tsdd)
=> BH/BQ=BN/BP
xét tam giác BHN và tam giác BQP có
góc B chung
BH/BQ=BN/BP (cmt)
=> đồng dạng(cgc) => góc BNH=góc BPQ (2 góc tương ứng) (1)
Xét tam giác BMQ và tam giác BNA có
góc B chung
BMQ = BNA =90
=> đồng dạng (gg)(bạn tự viết đầy đủ nhé vì nó khá dài nên mk viết tắt nhé )
=> BM/BN=BQ/BA ( tsdd)
=> BM/BQ=BN/BA
xét tam giác BMN và tam giác BQA có
góc B chung
BM/BQ=BN/BA (cmt)
=> đồng dạng(cgc) => góc BNM=góc BAQ (2 góc tương ứng) (2)
Xét tam giác BHA và tam giác BMP có
B chung
BHA = BMP =90
=> đồng dạng (gg)=>BAQ=BPQ(3)
từ (1),(2),(3) => góc BNM = góc BNH
=> BN là pg của góc MNH (đpcm)
a) Xét ΔABH và ΔCAH có
\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\)(cùng phụ với \(\widehat{BAH}\))
Do đó: ΔABH∼ΔCAH(g-g)
b) Ta có: ΔABH∼ΔCAH(cmt)
⇒\(\frac{AB}{CA}=\frac{BH}{AH}\)(1)
Ta có: \(AM=\frac{AH}{2}\)(M là trung điểm của AH)
\(BN=\frac{BH}{2}\)(N là trung điểm của BH)
Do đó: \(\frac{BN}{AM}=\frac{\frac{BH}{2}}{\frac{AH}{2}}=\frac{BH}{2}\cdot\frac{2}{AH}=\frac{BH}{AH}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{AB}{CA}=\frac{BN}{AM}\)
Xét ΔABN và ΔCAM có
\(\frac{AB}{CA}=\frac{BN}{AM}\)(cmt)
\(\widehat{ABN}=\widehat{CAM}\)(cùng phụ với \(\widehat{HAB}\))
Do đó: ΔABN∼ΔCAM(c-g-c)
c) Xét ΔHAB có
M là trung điểm của AH(gt)
N là trung điểm của BH(gt)
Do đó: NM là đường trung bình của ΔHAB(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒NM//AB và \(NM=\frac{AB}{2}\)(định lí 2 đường trung bình của tam giác)
Ta có: NM//AB(cmt)
AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)
Do đó: NM⊥AC(định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔANC có
AH là đường cao ứng với cạnh CN(AH⊥BC, N∈BC)
NM là đường cao ứng với cạnh AC(NM⊥AC)
AH\(\cap\)NM={M}
Do đó: M là trực tâm của ΔANC(tính chất trọng tâm của tam giác)
⇒CM⊥AN(đpcm)