Question

[Sonata Dusk]

Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AH, BH. Gọi O là giao điểm của AN và CM. Chứng minh:

a) △ABH ∼ △CAH

b) △ABN ∼ △CAM

c) AN ⊥ CM

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔABH và ΔCAH có

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\)(cùng phụ với \(\widehat{BAH}\))

Do đó: ΔABH∼ΔCAH(g-g)

b) Ta có: ΔABH∼ΔCAH(cmt)

⇒\(\frac{AB}{CA}=\frac{BH}{AH}\)(1)

Ta có: \(AM=\frac{AH}{2}\)(M là trung điểm của AH)

\(BN=\frac{BH}{2}\)(N là trung điểm của BH)

Do đó: \(\frac{BN}{AM}=\frac{\frac{BH}{2}}{\frac{AH}{2}}=\frac{BH}{2}\cdot\frac{2}{AH}=\frac{BH}{AH}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{AB}{CA}=\frac{BN}{AM}\)

Xét ΔABN và ΔCAM có

\(\frac{AB}{CA}=\frac{BN}{AM}\)(cmt)

\(\widehat{ABN}=\widehat{CAM}\)(cùng phụ với \(\widehat{HAB}\))

Do đó: ΔABN∼ΔCAM(c-g-c)

c) Xét ΔHAB có

M là trung điểm của AH(gt)

N là trung điểm của BH(gt)

Do đó: NM là đường trung bình của ΔHAB(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒NM//AB và \(NM=\frac{AB}{2}\)(định lí 2 đường trung bình của tam giác)

Ta có: NM//AB(cmt)

AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)

Do đó: NM⊥AC(định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔANC có

AH là đường cao ứng với cạnh CN(AH⊥BC, N∈BC)

NM là đường cao ứng với cạnh AC(NM⊥AC)

AH\(\cap\)NM={M}

Do đó: M là trực tâm của ΔANC(tính chất trọng tâm của tam giác)

⇒CM⊥AN(đpcm)