Question

[Vũ's Nhung's]

cho biểu thức A=\(\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\) và B=\(\left(1-\frac{2\sqrt{x}}{3\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+1}{9x-1}\right):\frac{3}{3\sqrt{x}+1}\) với x>0, x≠\(\frac{1}{9}\)

1, tính giá trị của A khi x=\(\left(1+\frac{10+\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}\right)\left(\frac{10-\sqrt{10}}{\sqrt{10}-1}-1\right)\)

2, rút gọn biểu thức B

3, đặt P=A.B. tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên

Answer 1

[santa]

1/ \(x=\left(1+\frac{10+\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}\right)\left(\frac{10-\sqrt{10}}{\sqrt{10}-1}-1\right)\)

\(x=\left(1+\frac{\sqrt{10}\left(\sqrt{10}+1\right)}{1+\sqrt{10}}\right)\left(\frac{\sqrt{10}\left(\sqrt{10}-1\right)}{\sqrt{10}-1}-1\right)\)

\(x=\left(1+\sqrt{10}\right)\left(\sqrt{10}-1\right)\)

\(x=10-1=9\)

Thay \(x=9\) vào A:

\(A=\frac{2\sqrt{9}+1}{9+\sqrt{9}}=\frac{7}{12}\)

Vậy với \(x=\left(1+\frac{10+\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}\right)\left(\frac{10-\sqrt{10}}{\sqrt{10}-1}-1\right)\Leftrightarrow A=\frac{7}{12}\)

2/ \(B=\left(1-\frac{2\sqrt{x}}{3\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+1}{9x-1}\right):\frac{3}{3\sqrt{x}+1}\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{9x-1-2\sqrt{x}\left(3\sqrt{x}-1\right)+\sqrt{x}+1}{\left(3\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}+1\right)}\cdot\frac{3\sqrt{x}+1}{3}\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{9x-1-6x+2\sqrt{x}+\sqrt{x}+1}{3\left(3\sqrt{x}-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{3x+3\sqrt{x}}{3\left(3\sqrt{x}-1\right)}=\frac{x+\sqrt{x}}{3\sqrt{x}-1}\)

3/ \(P=A.B=\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\cdot\frac{x+\sqrt{x}}{3\sqrt{x}-1}=\frac{2\sqrt{x}+1}{3\sqrt{x}-1}\)

Để \(P\in Z\Leftrightarrow2\sqrt{x}+1⋮3\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow6\sqrt{x}+2⋮3\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow2\left(3\sqrt{x}-1\right)+4⋮3\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow4⋮3\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}-1\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}\in\left\{0;2;-1;3;-3;5\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;\frac{2}{3};-\frac{1}{3};1;-1;\frac{5}{3}\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{0;\frac{4}{9};\frac{1}{9};1;\frac{25}{9}\right\}\)

Loại bỏ những giá trị x < 0 , x \(x\notin Z\)và x không thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy để \(P\in Z\Leftrightarrow x\in\left\{1\right\}\)