Question

[Nguyễn Thanh Giang]

Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{y^2-y+1}=\sqrt{x^2+y^2-\frac{1}{2}}\\2x^3y-x^2=\sqrt{x^4+x^2}-2x^3y\sqrt{4y^2+1}\end{matrix}\right.\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

- Với \(x=0\Rightarrow1-\sqrt{y^2-y+1}=\sqrt{y^2-\frac{1}{2}}\)

\(\Rightarrow y^2-y+2-2\sqrt{y^2-y+1}=y^2-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{5}{2}-y=2\sqrt{y^2-y+1}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{5}{2}-y\right)^2=4\left(y^2-y+1\right)\) (giải ra và thử lại nghiệm...)

- Với \(x\ne0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(2y+2y\sqrt{4y^2+1}\right)=x^2+\sqrt{x^4+x^2}\)

\(\Leftrightarrow2y+2y\sqrt{\left(2y\right)^2+1}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x^4+x^2}{x^4}}\)

\(\Leftrightarrow2y+2y\sqrt{\left(2y\right)^2+1}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\sqrt{\left(\frac{1}{x}\right)^2+1}\)

\(\Rightarrow2y=\frac{1}{x}\)

Bình phương 2 vế pt đầu và rút gọn với lưu ý \(xy=\frac{1}{2}\):

\(x-y+\frac{5}{2}=\sqrt{4x^2+2x+4y^2-2y+3}\)

\(\Rightarrow x^2-x+y^2+y-\frac{3}{4}=0\)

\(\Rightarrow x^2-x+\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{2x}-\frac{3}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow4x^4-4x^3-3x^2+2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(2x+1\right)^2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y=\frac{1}{2}\\x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-1\end{matrix}\right.\)

Do tất cả các bước biến đổi đều ko có điều kiện nên cần thế nghiệm vào pt đầu để thử lại

Answer 2

[Nguyễn Thanh Giang]

em cảm ơn ạ