cho a,b,c >o c/m
1<\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{a}{c+a}\)<2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
HN
1
Những câu hỏi liên quan
HT
28 tháng 7 2016
Ta có : \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c}.\)
\(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(=>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)
\(>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
\(=>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>1\)(1)
* Ta có : \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+c}\)
\(\frac{b}{b+c+d}< \frac{b}{b+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}< \frac{c}{c+a}\)
\(\frac{d}{d+a+b}< \frac{d}{d+b}\)
\(=>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)
\(< \frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+d}+\frac{c}{c+a}+\frac{d}{d+b}=\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+d}{b+d}=2\)
\(=>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\left(\text{đ}pcm\right)\)
13 tháng 6 2016
a) vì a<b => 2a<a + b ; c < d => 2c < c + d ; m<n => 2m< m + n
=> 2a + 2c + 2m = 2 (a + c + m) < ( a + b + c + m + n)
=> \(\frac{a+c+m}{a+b+c+m+n}< \frac{1}{2}\left(đccm\right)\)
t i c k nha!! 4545654756678769780
13 tháng 6 2016
Ta có:\(1\le a;2\le b;3\le c;4\le d;5\le m;6\le n\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+c+m\ge1+3+5=9\\a+b+c+m+n=1+2+3+5+6=17\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c+m}{a+b+c+m+n}\ge\frac{9}{17}>\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\)
b,Tương tự
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 10 2020
1.
Ta có: \(a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}+\frac{b}{b+ca\left(c^2+a^2\right)}+\frac{c}{c+ab\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a^2}{a^2+abc\left(b^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{b^2+abc\left(a^2+c^2\right)}+\frac{c^2}{c^2+abc\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
18 tháng 4 2018
Ta có :
\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{a+b+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{b+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{c+d+a}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow\)\(M=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{c+d+a}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\) ( cộng theo vế 4 đẳng thức trên )
\(\Rightarrow\)\(M>1\) \(\left(1\right)\)
Lại có : ( phần này áp dụng công thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) \(\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m\inℕ^∗\right)\) )
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{a+b+d}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{b+c+d}< \frac{c+a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{c+d+a}< \frac{d+b}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow\)\(M=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{c+d+a}< \frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\) ( cộng theo vế 4 đẳng thức trên )
\(\Rightarrow\)\(M< 2\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm : \(1< M< 2\)
Vậy \(1< M< 2\)
Chúc bạn học tốt ~
LT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 2 2020
\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
Làm tương tự với 3 cái sau và cộng lại ta sẽ có BĐT bên trái
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
Làm tương tự với 3 cái sau và cộng lại ta sẽ có BĐT bên phải
2/\(H=\left(x^2+y^2+1-2x+2y-2xy\right)+\left(x^2+2x+1\right)+2019\)
\(H=\left(x-y-1\right)^2+\left(x+1\right)^2+2019\ge2019\)
\(H_{min}=2019\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\x-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-2\end{matrix}\right.\)
Sửa đề: \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)
Lại có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\) ; \(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\) ; \(\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)