Question

[Đặng Quang Huy]

(x^2-y^2)^2=10y+9

Answer 1

[ʚ๖ۣۜAηɗσɾɞ‏]

Dễ thấy y\(\ge\)0 .Vế phải phương trình khác 0 nên vế trái phương trình ta có:

|x|\(\ge\)|y|+1 hay |x|\(\le\)|y|-1

Cả hai trường hợp này ta đều có (x² - y²)²\(\ge\)( 2y\(\pm\)1)²

Khi đó (2y\(\pm\)1)²\(\le\)10y+9

Từ đó suy ra y\(\varepsilon\){0,4} mà chú ý thêm cái là 10y+9 là số chính phương suy ra y\(\varepsilon\){0,4}

Xét y=4 suy ra x=\(\pm\)3

Vậy (x,y) =(4,3) , (4, - 3)

Answer 2

[Trần Thu Hà]

10y+9=(x²−y²)2≥0⇒y≥0 , mà y=0 không thoả pt nên suy ra y>0.

Xét (mod10) :

(x²−y² )2 = 10y + 9 ≡ 9 ⇒ x²−y²≡ 3 hoặc 7.

TH1: x²−y²≡3⇒x²−y²=10n+3 (với n∈Z^∗)

⇒(10n+3)²=10y+9⇒y=10n²+6n

⇒x²=(10n²+6n)²+10n+3

⇒n>0: (10n²+6n)²<x²<(10n²+6n+1)²

=>n<−1: (10n²+6n−1)²<x²<(10n2+6n)²

=>n=−1: x²=9⇒x=±3 ; y=4

⇒(x,y)=(−3;4) ; (3;4)

TH2

: x²−y²≡7⇒x²−y²=10n−3 (với n∈Z^∗)

⇒(10n−3)²=10y+9⇒y=10n²−6n

⇒x²=(10n²−6n)²+10n−3

⇒n>0: (10n2−6n)²<x²<(10n2−6n+1)²

=>n≤−1:(10n²−6n−1)²<x²<(10n²−6n)²

⇒TH này VN.

Vậy tóm lại pt chỉ có 2 nghiệm nguyên là (x;y)=(−3;4) ; (3;4)

.