cho x,y,z>0. x+y+z=4. tìm gtnn của 4/x+1 + 9/y+2 +25/z+3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
H
1
11 tháng 12 2016
Ta có:
\(\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)
\(\frac{y}{y+1}=1-\frac{y}{y+1}\)
\(\frac{z}{z+4}=1-\frac{4}{z+4}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}\right)\)
\(\le\left[3-\left(\frac{4}{x+y+2}+\frac{4}{z+4}\right)\right]\le\left(3-\frac{16}{x+y+z+6}\right)=3-\frac{16}{6}=\frac{1}{3}\)
VT
3
31 tháng 5 2018
Ta có: \(P=\frac{4}{x}+\frac{9}{y}+\frac{16}{z}=\frac{2^2}{x}+\frac{3^2}{y}+\frac{4^2}{z}\)
Áp dụng bất đẳng thức Swarchz cho 3 số:
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(2+3+4\right)^2}{x+y+z}=\frac{81}{x+y+z}\)
Thay \(x+y+z=6\Rightarrow P\ge\frac{81}{6}=\frac{27}{2}\)
\(\Rightarrow Min_P=\frac{27}{2}.\)Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\).
NA
31 tháng 5 2018
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{4}{3};y=2;z=\frac{8}{3}\)
20 tháng 12 2017
Trước tiên chứng minh:
\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+b^4+a^3b+ab^3=\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Áp dụng bài toán được
\(P=\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(x+y+y+z+z+x\right)=x+z+y=2018\)
30 tháng 5 2020
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
2 tháng 7 2018
Bài 2. Áp dụng BĐT Cauchy dưới dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+4+9\right)^2}{x+y+z}=196\)
⇒ \(P_{MIN}=196."="\) ⇔ \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
MT
2
21 tháng 11 2015
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:
1/x + 36x ≥ 2.√(1/x . 36x) = 12 (đẳng thức xảy ra khi 1/x = 36x hay x = 1/6) (1)
4/y + 36y ≥ 24 (đẳng thức xảy ra khi 4/y = 36y hay y = 1/3) (2)
9/z + 36z ≥ 36 (đẳng thức xảy ra khi 9/z = 36z hay z = 1/2) (3)
Cộng vế 3 bất đẳng thức (1),(2),(3) lại được:
1/x + 4/y + 9/z + 36(x + y + z) ≥ 12+24+36=72
<=> 1/x + 4/y + 9/z ≥ 72 - 36(x + y + z) = 36 (vì x + y + z = 1)
Vậy GTNN S = 36 khi x = 1/6; y = 1/3; z = 1/2
Đúng thì tick nhé !
Áp dụng bđt Cauchy-schwarz ta có:
\(\frac{4}{x+1}+\frac{9}{y+2}+\frac{25}{z+3}\ge\frac{\left(2+3+5\right)^2}{x+1+y+2+z+3}=\frac{10^2}{4+6}=10\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{2}{x+1}=\frac{3}{y+2}=\frac{5}{z+3}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=2\end{matrix}\right.\)