Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H kẻ HM vuông góc với AC tại M. Gọi I là trung điểm của HM, đường thẳng CI cắt AH và AB lần lượt tại E và K. Chứng minh I là trung điểm của AB
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
25 tháng 3 2016
a/ Ta có AN vuông góc AC; HM vuông góc AC => AN//HM (1)
Ta có AM vuông góc AB; HN vuông góc AB => AM//HN (2)
=> Tứ giác AMHN là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)
AH; MN là hai đường chéo của hbh nên chúng cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
b/ Trước hết ta phải c/m A, I, K thẳng hàng
Nối AI; AK
+ Xét tam giác AHK có
Hình bình hành AMHN có ^MAN=90 => ^ANM =90 => AN vuông góc HK nà NK=NH
=> tam giác AKH cân tại A (Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tam giác cân)
=> ^KAN=^HAN (1) (trong tam giác cân đường cao đồng thời là đường phân giác)
+ Xét tam giác AIH chứng minh tương tự ta cũng có
^HAM=^IAM (2)
+ Mà ^HAN+^HAM=^BAC=90 (3)
Từ (1) (2) (3) => ^KAN+^IAM=^HAN+^HAM=90
=> ^KAN+^HAN+HAM+^IAM=180 => A,I,K thẳng hàng
+ Ở trên ta đã chứng minh được tam giác AKH và tam giác AIH là tam giác cân tại A
=> AK=AH=AI => A là trung điểm của IK
+ Xét tam giác
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
10 tháng 11 2023
a/
Ta có
\(\widehat{A}=90^o;\widehat{MHN}=90^o\) => A và H cùng nhìn MN dưới 1 góc vuông nên A; H thuộc đường tròn đường kính MN => A; M; H; N cùng thuộc 1 đường tròn
Xét tg vuông AHC có
\(MA=MC\Rightarrow HM=MA=MC=\dfrac{AC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
=> tg AMH cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MAH}=\widehat{MHA}\)
Mà
\(\widehat{NAH}+\widehat{MAH}=\widehat{A}=90^o\)
\(\widehat{NHA}+\widehat{MHA}=\widehat{MHN}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{NAH}=\widehat{NHA}\) => tg NAH cân tại N => NA=HN (1)
Xét tg vuông ABH có
\(\widehat{NAH}+\widehat{B}=90^o\)
\(\widehat{NHA}+\widehat{NHB}=\widehat{AHB}=90^o\)
Mà \(\widehat{NAH}=\widehat{NHA}\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{NHB}\) => tg BHN cân tại N => NB=HN (2)
Từ (1) và (2) => NA=NB => N là trung điểm AB
b/
Ta có
NA=NB (cmt); MA=MC (gt) => MN là đường trung bình của tg ABC
=> MN//BC
Gọi O là giao của MN với AH. Xét tg ABH có
MN//BC => NO//BH
NA=NB (cmt)
=> OA=OH (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại) => O à trung điểm AH
Ta có
\(HE\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\left(gt\right)\) => HE//AC => HE//AF
\(HF\perp AC\left(gt\right);AB\perp AC\left(gt\right)\) => HF//AB => HF//AN
=> AEHF là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)
Gọi O' là giao của EF với AH => O'A=O'H (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => O' là trung điểm của AH
Mà O cũng là trung điểm của AH (cmt)
=> \(O'\equiv O\) => AH; MN; EF cùng đi qua O
18 tháng 6 2023
HN//AB
=>góc NHA=góc HAM
=>góc NHA=góc MHA
=>HA là phân giác của góc NHM
HC vuông góc HA
=>HC là phân giác ngoài của ΔIHN
1 tháng 2 2023
a: Xét tứ giác AMHK có
góc AMH=góc AKH=góc KAM=90 độ
=>AMHK là hình chữ nhật
=>AH=MK
b: Xét ΔAHD có
AB vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
nên ΔAHD cân tại A
=>AH=AD và AB là phân giác của góc HAD(1)
Xét ΔHEA có
AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
nên ΔAHE cân tại A
=>AH=AE và AC là phân giác của góc HAE(2)
Từ (1), (2) suy ra góc DAE=2*90=180 độ
=>D,A,E thẳng hàng
mà AD=AE
nên A là trung điểm của DE
c: Xét ΔAHB và ΔADB có
AH=AD
góc HAB=góc DAB
AB chung
=>ΔAHB=ΔADB
=>góc ADB=90 dộ
=>BD vuông góc DE(3)
Xét ΔAHC và ΔAEC có
AH=AE
góc HAC=góc EAC
AC chung
=>ΔAHC=ΔAEC
=>goc AEC=90 độ
=>CE vuông góc ED(4)
Từ (3), (4) suy ra BD//CE