cho tam giác abc vuông tại a. vẽ tia cx vuông vs bc cắt phân giác góc b tại f, bf cắt ac tại e. kẻ cd vuông vs ef. kéo dài ba và cd cắt nhau tại s
A. Góc abc = acf và cd là phân giác góc ecf B. de=df và se=cf C. se// cf và ae<ec D. Kẻ dh vuông vs bc. I là trung điểm dh. Chứng minh bi vuông vs sh * ko cần vẽ...
Đọc tiếp
cho tam giác abc vuông tại a. vẽ tia cx vuông vs bc cắt phân giác góc b tại f, bf cắt ac tại e. kẻ cd vuông vs ef. kéo dài ba và cd cắt nhau tại s
A. Góc abc = acf và cd là phân giác góc ecf B. de=df và se=cf C. se// cf và ae<ec D. Kẻ dh vuông vs bc. I là trung điểm dh. Chứng minh bi vuông vs sh * ko cần vẽ hình*
a) Ta có: \(\widehat{ACB}+\widehat{ACF}=\widehat{BCF}=90^0\)(tia CA nằm giữa hai tia CB,CF)(1)
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
nên \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ACF}\)(đpcm1)
Ta có: \(\widehat{AEB}=\widehat{CEF}\)(hai góc đối đỉnh)(3)
Ta có: ΔABE vuông tại A(AB⊥AC, E∈AC)
nên \(\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=90^0\)(hai góc phụ nhau)
hay \(\widehat{AEB}=90^0-\widehat{ABE}\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{CEF}=90^0-\widehat{ABE}\)
mà \(\widehat{ABE}=\widehat{CBE}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
nên \(\widehat{CEF}=90^0-\widehat{CBE}\)
hay \(\widehat{CEF}=90^0-\widehat{CBF}\)(5)
Ta có: ΔBCF vuông tại C(BC⊥CF)
nên \(\widehat{CBF}+\widehat{CFB}=90^0\)(hai góc phụ nhau)
hay \(\widehat{CFE}=90^0-\widehat{CBF}\)(6)
Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat{CEF}=\widehat{CFE}\)
Xét ΔCEF có \(\widehat{CEF}=\widehat{CFE}\)(cmt)
nên ΔCEF cân tại C(định lí đảo của tam giác cân)
hay CE=CF
Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCDF vuông tại D có
CE=CF(cmt)
CD chung
Do đó: ΔCDE=ΔCDF(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{ECD}=\widehat{FCD}\)(hai góc tương ứng)
mà tia CD nằm giữa hai tia CE,CF
nên CD là tia phân giác của \(\widehat{ECF}\)(đpcm)
b) Ta có: ΔCDE=ΔCDF(cmt)
⇒DE=DF(hai cạnh tương ứng)
Kẻ EG⊥BC(G∈BC)
Xét ΔABE vuông tại A và ΔGBE vuông tại G có
BE là cạnh chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{GBE}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABG}\))
Do đó: ΔABE=ΔGBE(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒BA=BG(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔBSO vuông tại O và ΔBCO vuông tại O có
BO là cạnh chung
\(\widehat{SBO}=\widehat{CBO}\)(BO là tia phân giác của \(\widehat{SBC}\))
Do đó: ΔBSO=ΔBCO(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒BS=BC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: BS=BA+AS(A nằm giữa B và S)
BC=BG+GC(G nằm giữa B và C)
mà BS=BC(cmt)
và BA=BG(cmt)
nên AS=GC
Xét ΔAES vuông tại A và ΔGEC vuông tại G có
AS=GC(cmt)
AE=GE(ΔABE=ΔGBE)
Do đó: ΔAES=ΔGEC(hai cạnh góc vuông)
⇒ES=EC(hai cạnh tương ứng)
mà EC=CF(cmt)
nên SE=CF(đpcm)
c) Xét ΔEOS vuông tại O và ΔECO vuông tại O có
ES=EC(cmt)
EO là cạnh chung
Do đó: ΔEOS=ΔECO(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{SEO}=\widehat{CEO}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{SEO}=\widehat{CEF}\)
mà \(\widehat{CEF}=\widehat{CFE}\)(cmt)
nên \(\widehat{SEO}=\widehat{CFE}\)
mà \(\widehat{SEO}\) và \(\widehat{CFE}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên SE//CF(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Ta có: AE=EG(ΔAEB=ΔGEB)(7)
Ta có: ΔEGC vuông tại G(EG⊥BC)
mà EC là cạnh huyền
nên EC là cạnh lớn nhất
hay EC>EG(8)
Từ (7) và (8) suy ra AE<EC(đpcm)