Question

[Trương Thanh Nhân]

\(x+1=\left(2x+1\right)\sqrt{\sqrt{x+1}+2}\)

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

Điều kiện \(x\ge\frac{1}{2}\). Đặt \(y=\sqrt{\sqrt{x+1}+2}\left(y>\sqrt{2}\right)\)

ta thu được hệ \(\hept{\begin{cases}x+1+y=2\left(x+1\right)y\left(1\right)\\y^2-\sqrt{x+1}=2\left(2\right)\end{cases}}\)

\(x+1+y=\left(y^2-\sqrt{x+1}\right)\left(x+1\right)y\)

\(\Leftrightarrow\left(y\sqrt{x+1}+1\right)\left(y+x+1-y^2\sqrt{x+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y\sqrt{x+1}+1\right)\left(y-2\sqrt{x+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow y=2\sqrt{x+1}\)

Do đó ta có phương trình

\(\sqrt{\sqrt{x+1}+2}=2\sqrt{x+1}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{-15+\sqrt{33}}{32}\)

Thử lại ta thấy \(x=\frac{-15+\sqrt{33}}{32}\)là thích hợp nên đây là nghiệm duy nhất của pt đã cho