\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\ge5\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) ( cho các số thực a,b dương) chứng minh
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này bị ngược dấu hả ???
Đây nhé , ta sẽ chứng minh \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) thật vậy
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta được
\(\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b^2}.\frac{1}{a}}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{b}{a^2}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{b}\)
Cộng 2 bđt lại ta được \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
Dấu ''=" xảy ra khi a = b
Bài toán quay trở lại với việc c/m \(\frac{16}{a+b}\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\)với a,b > 0
Ta có bđt sau \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(Quen thuộc)
Áp dụng ta được \(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}=\frac{2^2}{a}+\frac{2^2}{b}\ge\frac{\left(2+2\right)^2}{a+b}=\frac{16}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\ge\frac{16}{a+b}???\) Trái với điều cần c/m
=> Đề sai
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\ge5.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3}{a^2b^2}+\frac{16}{a+b}\ge\frac{5.\left(a+b\right)}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2b^2}+\frac{16}{a+b}\ge\frac{5.\left(a+b\right)}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{ab}+\frac{16ab}{a+b}\ge5.\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge5\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}-1\ge5\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}-2\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge8\) (1)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge2.\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}.\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}}=2.\sqrt{16}=2.4=8\)(2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\ge5.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}=\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4=\left(4ab\right)^2\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{9}{a+b+c}\right)^2}{3}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{9}=\frac{3^2}{3}+\frac{2.9}{9}=5\)
Dễ thấy các hệ số tương đồng nhau nên có thể biến đổi bđt về dạng sau :
\(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\right)+\left(\frac{1}{b^2}+\frac{2b^2}{3}\right)+\left(\frac{1}{c^2}+\frac{2c^2}{3}\right)\ge5\)
Ta đi chứng minh bđt phụ sau : \(\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2a}{3}\)(1)
\(Bđt\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}-\frac{7}{3}+\frac{2a}{3}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3+2a^4-7a^2+2a^3}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^4-2a^2+1\right)+2a^3-3a^2+1}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2-1\right)^2+2a^2\left(a-1\right)-\left(a^2-1\right)}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)^2+2a^2\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\left(a+1\right)}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)\left[2\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2+2a^2-a-1\right]}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)\left[2\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2+\left(a-1\right)\left(2a+1\right)\right]}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2\left[2\left(a+1\right)^2+2a+1\right]}{3a^2}\ge0\)(Luôn đúng do a > 0 nên [...] > 0)
Dấu "=" <=> a = 1
Thiết lập các bđt còn lại \(\frac{1}{b^2}+\frac{2b^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2b}{3}\)
\(\frac{1}{c^2}+\frac{2c^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2c}{3}\)
Cộng 3 vế của bdtd lại ta được
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\ge7-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=7-\frac{2.3}{3}=5\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Ta có: \(2a+b^2=2a\left(a+b+c\right)+b^2=b^2+2a^2+2ab+2ac\)
\(\ge4ab+2ac+a^2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{2a+b^2}\le\frac{a}{4ab+2ac+a^2}=\frac{1}{4b+2c+a}\)
\(\le\frac{1}{49}.\frac{49}{4b+2c+a}=\frac{1}{49}.\frac{\left(4+2+1\right)^2}{4b+2c+a}\)
\(\le\frac{1}{49}\left(\frac{16}{4b}+\frac{4}{2c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{49}\left(\frac{4}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
CMTT: \(\frac{b}{2b+c^2}\le\frac{1}{49}\left(\frac{4}{c}+\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right);\frac{c}{2c+a^2}\le\frac{1}{49}\left(\frac{4}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{2a+b^2}+\frac{b}{2b+c^2}+\frac{c}{2c+a^2}\le\frac{1}{7}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( đpcm )
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
vì a,b dương nên BĐT đã cho tương đương với :
\(\frac{a}{b^2}-\frac{1}{b}+\frac{b}{a^2}-\frac{1}{a}+4\left(\frac{4}{a+b}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b^2}+\frac{b-a}{a^2}+4.\frac{4ab-\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{a^2b^2}-\frac{4\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\left(a+b\right)^2-4ab\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^4\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra khi a = b