cho điểm A thuộc đường tròn tâm O. Trên tiếp tuyến của (O) tại A, lấy điểm B khác A. Đoạn thẳng OB cắt (O) tại m. Vẽ AC vuông góc với OB tại C. Chứng minh AM là đường phân giác của tam giác ABC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: ΔACM vuông tại C(AC⊥OB tại C,M∈OB)
nên \(\widehat{CMA}+\widehat{CAM}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
\(\Leftrightarrow\widehat{OMA}+\widehat{CAM}=90^0\)(1)
Xét ΔOMA có OM=OA(=R)
nên ΔOMA cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)
hay \(\widehat{OAM}=\widehat{OMA}\)(hai góc ở đáy)(2)
Ta có: \(\widehat{OAM}+\widehat{BAM}=\widehat{OAB}\)(tia AM nằm giữa hai tia AO,AB)
nên \(\widehat{OAM}+\widehat{BAM}=90^0\)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)
mà tia AM nằm giữa hai tia AB,AC
nên AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
Xét ΔABC có
AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(cmt)
nên AM là đường phân giác của ΔABC(Đpcm)
a) Xét (O) có
AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: AB=AC(cmt)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OB=OC(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
hay OA⊥BC(đpcm)
b) Xét (O) có
AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: OA là tia phân giác của \(\widehat{BOC}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)(3)
Ta có: ΔOCA vuông tại C(CA là tiếp tuyến của (O) có C là tiếp điểm)
nên \(\widehat{CAO}+\widehat{COA}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{EAO}+\widehat{COA}=90^0\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{EAO}+\widehat{BOA}=90^0\)(5)
Vì tia OA nằm giữa hai tia OE và OB
nên \(\widehat{BOA}+\widehat{EOA}=\widehat{BOE}\)
hay \(\widehat{EOA}+\widehat{BOA}=90^0\)(6)
Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat{EAO}=\widehat{EOA}\)
Xét ΔOAE có \(\widehat{EAO}=\widehat{EOA}\)(cmt)
nên ΔOAE cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)