\(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3x^2-5}}\le\frac{2}{\sqrt{x^2-2}+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 2 2020
A = \(\frac{3x}{2}+\frac{2}{x-1}=3.\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}+\frac{3}{2}\)\(\ge2\sqrt{3}+\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\)min A = \(2\sqrt{3}+\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}}+1\)(thỏa mãn)
B = \(x+\frac{3}{3x-1}=\frac{1}{3}\left(3x-1+\frac{9}{3x-1}+1\right)\)\(\ge\frac{1}{3}\left(2\sqrt{9}+1\right)=\frac{7}{3}\)
\(\Rightarrow\)min B = \(\frac{7}{3}\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}\)
9 tháng 2 2020
\(A\) \(=\) \(3x^2\left(8-x^2\right)\le3\frac{\left(x^2+8-x^2\right)^2}{4}=48\)
\(\Rightarrow\) maxA = 48 \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn)
\(B=\) \(4x\left(8-5x\right)\)\(=\frac{4}{5}.5x\left(8-5x\right)\le\frac{4}{5}.\frac{\left(5x+8-5x\right)^2}{4}=\frac{64}{5}\)
\(\Rightarrow\)max B = \(\frac{64}{5}\Leftrightarrow x=\frac{4}{5}\)(thỏa mãn)
ML
23 tháng 5 2018
Với mọi n nguyên dương ta có:
\(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Với k nguyên dương thì
\(\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)
\(=\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\)(*)
Đặt A = vế trái. Áp dụng (*) ta có:
\(\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\sqrt{3}-\sqrt{1}\)
\(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\sqrt{5}-\sqrt{3}\)
...
\(\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-\sqrt{79}\)
Cộng tất cả lại
\(2A=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-1=8\Rightarrow A>4\left(đpcm\right)\)
3.
Theo bất đẳng thức cô si ta có:
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1.\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}\le\frac{a.b}{2}\)
Tương tự \(\Rightarrow b.\sqrt{a-1}\le\frac{a.b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}+b.\sqrt{a-1}\le a.b\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)
20 tháng 7 2016
từ dòng cuối là sai rồi bạn à
Bạn bỏ dòng cuối đi còn lại đúng rồi
Ở tử đặt nhân tử chung căn x chung rồi lại đặt căn x +1 chung
Ở mẫu tách 3 căn x ra 2 căn x +căn x rồi đặt nhân tử 2 căn x ra
rút gọn được \(\frac{3\sqrt{x}-5}{2\sqrt{x}+1}\)
4 tháng 7 2017
NX \(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}}\)
\(A^2=1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}=\frac{a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2+a^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)
\(=\frac{a^2\left(a^2+2a+1+1\right)+\left(a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)=\(\frac{a^4+2a^3+2a^2+\left(a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)
\(=\frac{a^4+2a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}=\frac{\left(a^2+a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)=\(\left[\frac{a^2+a+1}{a\left(a+1\right)}\right]^2\)suy ra A=\(\frac{a^2+a+1}{a\left(a+1\right)}\)
=\(\frac{a\left(a+1\right)+1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)
ap dung vao bai ta co =\(\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+...+\left(1+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}\right)\)
=\(2011+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}\right)\)= \(2011+\frac{1}{2}-\frac{1}{2013}=2011,499503\)
ĐKXĐ: \(x^2\ge2\)
Đặt \(\sqrt{x^2-2}=t\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{t^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{3t^2+1}}\le\frac{2}{t+1}\)
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{t^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{3t^2+1}}\le\sqrt{2\left(\frac{1}{t^2+3}+\frac{1}{3t^2+1}\right)}=2\sqrt{\frac{2\left(t^2+1\right)}{\left(t^2+3\right)\left(3t^2+1\right)}}\) (1)
Mặt khác ta luôn có:
\(\left(t-1\right)^4\ge0\Leftrightarrow t^4-4t^3+6t^2-4t+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow3t^4+10t^2+3\ge2t^4+4t^3+4t^2+4t+2\)
\(\Leftrightarrow\left(t^2+3\right)\left(3t^2+1\right)\ge2\left(t+1\right)^2\left(t^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(t^2+1\right)}{\left(t^2+3\right)\left(3t^2+1\right)}\le\frac{1}{\left(1+t\right)^2}\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow VT\le2\sqrt{\frac{1}{\left(1+t\right)^2}}=\frac{2}{t+1}=VP\)
\(\Rightarrow\) BPT đã cho luôn đúng với mọi \(t\) hay nghiệm của BPT là \(x^2\ge2\)