Question

[Nguyễn Thanh Thảo]

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,Ax và By là hai tiếp tuyến của (O) tại A và B. Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn, tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax,By lần lượt tại C và D.

1) Chứng minh các tứ giác AOMC và BOMD nội tiếp.

2) Giả sử BD = 3 R , tính diện tích tứ giác ABDC.

3) Nối OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F, kẻ MN ⊥ AB tại N, chứng minh ONEF là hình thang cân.

4) Tìm vị trí ‘của M trên nửa đường tròn để chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF nhỏ nhất.

Answer 1

[Nguyễn Hoàng Bảo Nhi]

Bạn tự vẽ hình nhé : 

1.Vì CM,CA là tiếp tuyến của (O) 

\(\Rightarrow CM\perp OM,CA\perp OA\)

\(\Rightarrow CAOM\)nội tiếp đường tròn đường kính OC

Tương tự DMOB nội tiếp đường tròn đường kính OD

2 . Vì CM,CA là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow CM=CA,OC\) là phân giác \(\widehat{AOM}\)

Tương tự DM = DB , OD là phân giác ^BOM

Mà \(\widehat{AOM}+\widehat{MOB}=180^0\)

\(\Rightarrow OC\perp OD\)

Lại có ; \(OM\perp CD\Rightarrow CM.DM=OM^2\Rightarrow CM.DM=R^2\)

Mà : \(CM=CA,DM=DB\Rightarrow AC.BD=R^2\Rightarrow AC.3R=R^2\Rightarrow AC=\frac{R}{3}\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB\left(BD+CA\right)=\frac{1}{2}.2R.\left(3R+\frac{R}{3}\right)=\frac{10R^2}{3}\)

3.Vì CM,CA là tiếp tuyến của (O) 

\(\Rightarrow CO\perp AM=E\) là trung điểm AM

Tương tự \(OD\perp BM=F\) là trung điểm BM

\(\Rightarrow MN\) là đường trung bình \(\Delta ABC\Rightarrow EF//MN\)

Mà \(OE\perp ME,OF\perp MF,MN\perp ON\)

\(\Rightarrow M,E,N,O,F\in\) đường tròn đường kính OM 

\(\Rightarrow EFNO\) nội tiếp 

\(\Rightarrow\widehat{EFO}+\widehat{ENO}=180^0\)

Mà \(\widehat{NEF}+\widehat{ENO}=180^0\) ( EF // AB => EF//NO ) 

\(\Rightarrow EFON\) là hình thang cân