Question

[Phan Hải Đăng]

Cho \(a,b,c,d\inℤ\)t/m \(1\le a< b< c< d\le50\). CMR \(\frac{a}{c}+\frac{b}{d}\ge\frac{b^2+b+50}{50b}\)

Answer 1

[IS]

Do \(a\ge1,d\le50\left(and\right)c>b\left(c,b\in N\right)nên\left(c\ge b+1\right)\)thành thử

\(S=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ge\frac{1}{b}+\frac{b+1}{50}=\frac{b^2+b+50}{50b}\)

zậy BĐT của đề ra đc CM 

dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=1\\d=50\\c=b+1\end{cases}.}\)

ĐỂ tìm minS ta đặt

\(\frac{b^2+b+50}{50b}=\frac{b}{50}+\frac{1}{b}+\frac{1}{50}\)zà xét hàm số có biến số liên tục x 

\(f\left(x\right)=\frac{x}{50}+\frac{1}{x}+\frac{1}{50}\left(2\le x\le48\right)\)

\(f'\left(x\right)=\frac{1}{50}-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-50}{50x^2};f'\left(x\right)=0\hept{\begin{cases}x^2=50\\2\le x\le48\end{cases}\Leftrightarrow x=5\sqrt{2}}\)

Ta có bảng biến thiên 

x	2         \(5\sqrt{2}\)  48
f'(x)	-          0      +
f(x)	\(\rightarrow\)minf(x )     )\(\rightarrow\)

chuyển zế biểu thức 

\(f\left(b\right)=\frac{b^2+b+50}{50b}\left(2\le b\le48,b\in N\right)\)

từ BBT suy ra b biến thiên từ 2 đến 7 , f(b) giảm rồi chuyển sang tăng khi b biến thiên  từ 8 đến 48 . suy ra minf(b) = min[f(7) ;f(8)]

ta có 

\(\hept{\begin{cases}f\left(7\right)=\frac{49+57}{350}=\frac{53}{175}\\f\left(8\right)=\frac{64+58}{400}=\frac{61}{200}>\frac{53}{175}\end{cases}}\)

zậy min S = 53/175 khi a=1 , b=7 , c=8 , d=50\

nguồn đại học học 2002 dự bị 5