Tam giác MNP thỏa mãn 3 ∠ M + 2 ∠ N = 180 độ . Chứng minh rằng: PN2 + MPMN . - MN2 = 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
L
17 tháng 4 2022
Câu 1. Cho tam giác MNP cân tại M, nếu góc M=50độ thì góc ở đáy bằng
A. 130 độ
B. 40 độ
C. 100 độ
D. 65 độ
Câu 2. Cho tam giác MNP vuông tại M, theo định lý Pytago ta có:
A. NM2=MP2+NP2
B. NP2=MN2+MP2
C. MP2=MN2+NP2
D. NP2=MN2-MP2
Câu 3. Nếu tam giác ABC có AC>AB thì theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác
A. Góc A> góc B
B. Góc A> góc C
C. Góc C> góc A
D. Góc B> góc C
1 tháng 1 2023
*bạn kí tự vecto vào bài nhé
Gọi trọng tâm tam giác ABC là G
Ta có \(2GB+3GC=2\left(GM+MB\right)+3\left(GM+MC\right)=5GM+2MB+3MC=5GM\)
tượng tự \(2GC+3GA=5GN\)
\(2GA+3GB=5GP\)
cộng vế với vế ta được
\(GA+GB+BC=GN+GM+GP\Leftrightarrow GN+GM+GP=0\)
Vậy G là trọng tâm tam giác MNP
BT
29 tháng 11 2016
M N P G x y z a b c
Đặt độ dài các cạnh như hình vẽ trên.
Cô sẽ dùng kiến thức lượng giác lớp 10 để giải. Một cố công thức và bất đẳng thức cơ sở để làm bài này, các em có thể kham khảo trên các webside khác.
Áp dụng công thức \(cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) ( S là diện tích của tam giác chứa góc A)
và dễ thấy \(S_{\Delta GMN}=S_{\Delta GNP}=S_{\Delta GMP}=\frac{1}{3}S_{\Delta MNP}\). Từ đó ta có:
\(cotGNP+cotGPM+cotGMN=\frac{a^2+y^2-b^2}{4S_{\Delta GNP}}+\frac{z^2+b^2-c^2}{4.S_{\Delta GPM}}+\frac{x^2+c^2-a^2}{4.S_{\Delta GMN}}\)
\(=\frac{x^2+a^2-b^2+z^2+b^2-c^2+x^2+c^2-a^2}{4.\frac{1}{3}.S_{\Delta MNP}}\)
\(=\frac{x^2+y^2+z^2}{4.\frac{1}{3}.S_{\Delta MNP}}=3\sqrt{3}\)
Suy ra: \(x^2+y^2+z^2=4\sqrt{3}.S_{\Delta MNP}\). (1)
Áp dụng công thức: \(x=2R.sinP;y=2R.sinM;z=2r.sinN;S_{\Delta MNP}=2R.sinM.sinN.sinP\) ( R là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ). Thay vào (1) và rút gọn ta có:
\(sin^2M+sin^2N+sin^2P=2\sqrt{3}.sinM.sinN.sinP\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(sin^2M+sin^2N+sin^2P\right)=9.sinM.sinN.sinP\)(2)
Áp dụng bất đẳng thức: Trong tam giác MNP bất kì ta có: \(sinM+sinN+sinP\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\) vào vế trái của (2) ta có:
\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(sin^2M+sin^2N+sin^2P\right)\ge\left(sinM+sinN+sinP\right)\left(sin^2M+sin^2N+sin^2P\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{sinM.sinN.sinP}.3\sqrt[3]{sin^2M.sin^2N.sin^2P}=9.sinM.sinN.sinP\).
Dấu bằng xảy ra khi \(sinM=sinN=sinP\) hay \(\widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{P}=60^o\). Hay tam giác MNP đều.
15 tháng 11 2021
a: Ta có: ΔABC=ΔDEF
nên AB=DE(1)
Ta có: ΔDEF=ΔMNP
nên DE=MN(2)
Từ (1) và (2) suy ra AB=MN
2 tháng 8 2021
Bài 2:
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB,ta được:
\(AM\cdot AB=AH^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AN\cdot AC=AH^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
b) Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{NAM}=90^0\)
\(\widehat{ANH}=90^0\)
\(\widehat{AMH}=90^0\)
Do đó: AMHN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Suy ra: AH=MN
Ta có: \(AM\cdot AB+AN\cdot AC\)
\(=AH^2+AH^2\)
\(=2AH^2=2\cdot MN^2\)
gọi 3 góc của tgiac MNP là: \(\widehat{M},\widehat{N},\widehat{P}\)
Ta có: \(\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=3\widehat{M}+2\widehat{N}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{P}=2\widehat{M}+\widehat{N}\)(1)
Lấy E thuộc MN sao cho MP=ME ta sẽ có:
\(\widehat{MPE}=\widehat{MEP}\)
Vậy: \(\widehat{P}=\widehat{MPE}+\widehat{NPE}=\widehat{MEP}+\widehat{NPE}=2\widehat{NPE}+\widehat{N}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat{M}=\widehat{NPE}\)
Ta dễ dàng có: \(\Delta MNP\sim\Delta PNE\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow NP^2=MN.NE\)
Vậy biểu thức=\(MN.NE+MN.MP-MN^2=MN\left(NE+ME-MN\right)=MN.0=0\)
Lớp 9 hay 8 vậy