Question

[Lê Thủy tiên]

Cho  ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H .Đường vuông góc với AB tại B và đừơng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K.Gọi M là trung điểm của BC.CMR: a)    ADB ~ AEC;  AED ~ ACB. b)    HE.HC = HD. HB c)    H,M,K thẳng hàng d)    Tam giác ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác BACK sẽ là hình thoi? Hình chữ nhật?

Answer 1

[✰๖ۣۜŠɦαɗøω✰]

a) Xét \(\Delta ADB\)và \(\Delta AEC\)có góc A chung 

             \(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^O\)

\(\Rightarrow\Delta ADB\infty\)( Phần còn lại tương tự nha cậu ^.^ )  \(\Delta AEC\left(g-g\right)\)

 b) Xét \(\Delta HEB\)và \(\Delta HDC\)có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{HEB}=\widehat{HDC}=90^O\\\widehat{EHB}=\widehat{DHC\left(đđ\right)}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta HEB\infty\Delta HDC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{HE}{HD}=\frac{4B}{HC}\)

=> HE . HC = HD . HB  ( đpcm ) 

c) Có : \(\hept{\begin{cases}CH\perp AB\\KB\perp AB\end{cases}\Rightarrow KB}//CH\)

TT : HB // CK 

=> Tứ giác BHCK là hình bình hành có M là trung điểm BC là 1 đường chéo 

=> HK là 1 đường chéo   đi qua M

=> H,K,M  thẳng hàng 

d) BHCK là hình thoi <=> CH = HB <=> \(\Delta EHB=\Delta DHK\)

=> EB = DC => \(\Delta EBC=\Delta DCB\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

=> \(\Delta ABC\)cân tại A 

BHCK là hình chữ nhật thì \(\widehat{HCK}=90^O\)

<=> HC \(\perp\)KC <=> H \(\in\)AC ( theo gt ) 

=> \(\Delta ABC\)đều (đpcm ) 

Answer 2

[Chúng Thị Lan Anh]

a) ADB và AEC có:        ^A chung

                                      ^ADB = ^AEC (=90o)

=> ADB~AEC

=> góc ABD=gócACE

EDCD nội tiếp đường tròn => gócDEC=gócDBC

 mà góc ADE = ^DEC + ^ACE (góc ngoài tg)

 và góc ABC = ^DBC + ^ABD 

Do đó: ^ADE = ^ABC

AED và ACB có:        ^A chung ; ^ADE = ^ABC => đồng dạng (gg)

b,

Xét tam giác HEB và tam giác HDC có
góc HEB= góc HDC (=90 độ)
góc EHB= góc DHC ( đối đỉnh)
=>tam giácHEB đồng dạng tam giác HDC(g.g)
=>HE/HD=HB/HC
<=> HE.HC= HD.HB
c) 
Có BD vuông góc AC
CK vuông góc AC
=> BD song song CK hay BH song song CK
Có CE vuông góc AB
BK vuông góc AB
=> CE song song BK hay CH song song BK
Tứ giác BHCK có BH song song CK
CH song song BK
=> BHCK là hbh ( dhnb)
Mà M là trung điểm của đg chéo BC
=> M cũng là trung điểm của đg chéo HK
=> H,M,K thẳng hàng

d) BK ⊥ AB và CH ⊥ AB

=> BK // CH

+ Tương tự : CK // BH

=> Tứ giác BHCK là hình bình hành

Do đó tứ giác BHCK là hình thoi

<=> BC ⊥ HK

<=> HM ⊥ BC ( do H,M,K thẳng hàng )

<=> AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ABC

<=> Tam giác ABC cân tại A

+ Tứ giác BHCK là hình chữ nhật

<=> CH ⊥ CK ( hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật )

<=> CH trùng với CA

<=> CA ⊥ AB ( do CH ⊥ AB )

<=> tam giác ABC vuông tại A