Giả sử có 2015 số nguyên dương a1,a2,a3,...,a2015 thỏa mãn:\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_{2015}}=1008\).CMR có ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho = nhau
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
trong sách nâng cao và phất triển 1 số chuyên đề toàn 9 tập 1 có đó
a) A = \(\frac{1}{7^2}-\frac{1}{7^4}+\frac{1}{7^6}-\frac{1}{7^8}+...+\frac{1}{7^{98}}-\frac{1}{7^{100}}\)
Nhân \(\frac{1}{7^2}\)với A .Ta được :
A .\(\frac{1}{7^2}\)= \(\frac{1}{7^4}-\frac{1}{7^6}+\frac{1}{7^8}-...-\frac{1}{7^{98}}+\frac{1}{7^{100}}-\frac{1}{7^{102}}\)
Ta có : \(\frac{1}{7^2}.A+A=\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\)
\(\Rightarrow\frac{50}{49}.A=\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\)
\(\Rightarrow A.\left(\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\right).\frac{49}{50}< \frac{1}{50}\left(đpcm\right)\)
b)Giả sử a1 >a2 > a3 ...> a2015 nên a1 > a2015
Theo đề ra ta có : \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2015}}< \frac{1}{2016}+\frac{1}{2015}+...+1=A\)
A< \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{8}\right)\)có 2007 số \(\frac{1}{8}\)
Mà \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{8}\right)< 1+1+...+\frac{2018}{8}\)
Giả sử trong 2015 số nguyên dương đã cho không có số nào bằng nhau .
Và a1 < a2 < a3 < ... < a2015
Ta có : \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_{2015}}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2011}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+1007=1008\)
=> Giả sử là sai => ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho bằng nhau ( đpcm )
Vì \(a_1,a_2,....,a_{2015}\)là các số nguyên dương, để không mất tính tổng quát ta giả sử \(a_1\le a_2\le a_3\le.....\le a_{2015}\)Suy ra
\(a_1\ge1,a_2\ge2,.......,a_{2015}\ge2015\) Vậy ta có \(A=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+..........+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\le\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+.....+\frac{1}{\sqrt{2015}}=B\)
\(B=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+.....+\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2015}}<1+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+.....+\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}=C\)
Ta có trục căn thức ở mẫu của \(C\)Ta có: \(C=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{2014}+\sqrt{2014}-\sqrt{2013}+.....+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+1=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{1}\right)+1\)
Mà: \(C=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{1}\right)+1<89\)Trái với giả thiết Vậy tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau trong 2015 số nguyên dương đó
Giả sử trong 2015 số đã cho không có hai số nào bằng nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử
\(a_1< a_2< ...< a_{2015}\)
Vì \(a_1,a_2,...,a_{2015}\) đều là số nguyên dương nên ta suy ra
\(a_1\ge1;a_2\ge2;...;a_{2015}\ge2015\)
Suy ra
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2015}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}\)
\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+...+\left(\frac{1}{1024}+\frac{1}{1025}+...+\frac{1}{2015}\right)\)
\(< 1+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2^2}.2^2+...+\frac{1}{2^{10}}\cdot2^{10}=11< 1008\)
Mâu thuẫn với giả thiết
Do đó điều giả sử là sai
Vậy trong 2015 số đã cho phải có ít nhất 2 số bằng nhau
Giả sử a1, a2, ..., a2017 là 2017 số khác nhau.
Và0 < a1 < a2 ... < a2017
Vì là số nguyên dương nên ta có
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2017}}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2017}\)
\(< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+\frac{2016}{2}=1009\)
Từ đây ta thấy rằng nếu như 2017 số đó là khác nhau thì tổng luôn < 1009 vậy nên để tổng đó bằng 1009 thì phải có ít nhất 2 trong 2017 số đó bằng nhau
có bạn nào làm được bài này theo nguyên lí Đi - rich - lê ko
Giả sử trong 2015 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau
Không mất tính tổng quát giải sử \(a_1< a_2< a_3< ......< a_{2015}\)
Vì \(a_1;a_2;a_3;....a_{2015}\)đều là các số nguyên dương nên \(a_1\ge1;a_2\ge2;....;a_{2016}\ge2016\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+....+\frac{1}{a_{2015}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}\)\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+....+\left(\frac{1}{1024}+\frac{1}{1025}+\frac{1}{1026}+...+\frac{1}{2015}\right)\)
\(< 1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{4}\cdot4+\frac{1}{8}\cdot8+....+\frac{1}{512}\cdot512+\frac{1}{1024}\cdot993\)
\(< 1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{2^2}\cdot2^2+\frac{1}{2^3}\cdot2^3+......+\frac{1}{2^{10}}\cdot2^{10}=11< 1008\)
Trái với giải thiết. Do đó điều giả sử sai
Vậy trong 2015 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau