Chứng minh x3+y3\(\ge xy\left(x+y\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
30 tháng 7 2021
a) \(2\left(x^3+y^3\right)-3\left(x^2+y^2\right)\)
\(=2\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]-3\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]\)
\(=2\left(1-3xy\right)-3\left(1-2xy\right)\)
\(=2-6xy-3+6xy=-1\)
\(\Rightarrow\) Giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến \(x,y\)
b) \(\dfrac{\left(x+5\right)^2+\left(x-5\right)^2}{x^2+25}\)
\(=\dfrac{x^2+10x+25+x^2-10x+25}{x^2+25}\)
\(=\dfrac{2x^2+50}{x^2+25}=\dfrac{2\left(x^2+25\right)}{x^2+25}=2\)
\(\Rightarrow\) Giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến \(x\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2021
\(x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+\dfrac{1}{27}-3xy\left(x+y\right)-xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+\dfrac{1}{27}-3xy\left(x+y+\dfrac{1}{3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+\dfrac{1}{3}\right)\left[\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{3}\left(x+y\right)+\dfrac{1}{9}\right]-3xy\left(x+y+\dfrac{1}{3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-xy-\dfrac{1}{3}\left(x+y\right)+\dfrac{1}{9}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{3}\Rightarrow P=...\)
4 tháng 9 2021
a: Ta có: \(\left(x+y\right)^2\)
\(=x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\forall x,y>0\)
DN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 9 2021
\(\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y\)
\(\Rightarrow xy\left(x-y\right)^2=\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow xy\left[\left(x+y\right)^2-4xy\right]=\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)^2=4\left(xy\right)^2+\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{4\left(xy\right)^2\left(x+y\right)^2}=4xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow x+y\ge4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2+\sqrt{2};2-\sqrt{2}\right)\)
3 tháng 2 2022
Dễ thấy:
\(VT\ge\left(x+y\right)^2+1-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\)
Áp dụng Cô-si:
\(\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}.1}=\sqrt{3}\left|x+y\right|\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Do đó:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right),\forall x,y\in R\)
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
9 tháng 7 2023
Bài 3:
a, (\(x\)+y+z)2
=((\(x\)+y) +z)2
= (\(x\) + y)2 + 2(\(x\) + y)z + z2
= \(x^2\) + 2\(xy\) + y2 + 2\(xz\) + 2yz + z2
=\(x^2\) + y2 + z2 + 2\(xy\) + 2\(xz\) + 2yz
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
9 tháng 7 2023
b, (\(x-y\))(\(x^2\) + y2 + z2 - \(xy\) - yz - \(xz\))
= \(x^3\) + \(xy^2\) + \(xz^2\) - \(x^2\)y - \(xyz\) - \(x^2\)z - y3
Đến dây ta thấy xuất hiện \(x^3\) - y3 khác với đề bài, em xem lại đề bài nhé
1 tháng 8 2017
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y\)
b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)
Đúng với AM-GM 4 số
Xảy ra khi \(x=y=z=t\)
\(x^3+y^3\ge\left(x+y\right)xy\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)+y^2\left(y-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
mà \(x+y\ge0=>\left(x+y\right)^2\ge0\left(luôn\right)đúng\)
=> đpcm