Question

[Nguyễn Linh Chi]

Upin & Ipin 

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là một điểm cố định trên đoạn thẳng AB. Gọi DE là dây cung thay đổi của (O) luôn đi qua I. Gọi BD, BE cắt d lần lượt tại M, N.

1) Chứng minh rằng tứ giác DENM là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh rằng tích AM. AN không đổi.

3) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DENM thuộc một đường thẳng cố định

Answer 1

[IS]

câu 3 cô giáo CHi làm cho cậu r nên mình làm cho cậu câu 1 ,2 nhá

1) Dễ thấy \(AE\perp NB;AD\perp MB\)do đó \(\widehat{DEB}=\widehat{DAB}=\widehat{AMD},\)nên DENM là tứ giác nội tiếp

2)từ các tam giác \(\Delta ENA~\Delta EAB;\Delta AIE~\Delta DAB\),suy ra

\(\frac{AN}{AB}=\frac{AE}{EB};\frac{AM}{AB}=\frac{AD}{DB}\)

Nhân 2 đẳng thức này ta đc 

\(\frac{AN.AM}{AB^2}=\frac{AE.AD}{EB.DB}\left(1\right)\)

tứ giác AEBD nội tiếp , ta dễ thấy \(\Delta DIA~\Delta BIE;\Delta AIE~\Delta DIB\)suy ra

\(\frac{AD}{EB}=\frac{AI}{IE};\frac{AE}{DB}=\frac{AI}{ID}\)

nhân 2 đẳng thức này ta đc

\(\frac{AD.AE}{EB.DB}=\frac{AI^2}{IE.ID}\left(2\right)\)

Khi DE thay đổi qua I cố định thì \(IE.ID=R^2-OI^2\left(3\right)\)không đổi zới R là bán kính của (O)

từ (1) , 2 ,3 suy ra

\(AM.AN=AB^2.\frac{IA^2}{R^2-OI^2}=a\)(không đổi )

Answer 2

[IS]

cô hỏi em ạ ^^ . em thử ghi cách như này đc ko ạ . cái bài này em đc cô giáo chô một lần nhưng nó chỉ có 2 câu . 2 câu ý nó hỏi như sau . EM ko biết có giúp đc j ko

a) CMR tứ giác DENM là tứ giác nội tiếp đường tròn (K)

b) CMR K luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi dây DE di chuyển . 

em làm cái này là 1 phàn của câu b( ạ

Gọi r là bán kính (K) thì \(r^2-KA^2=AM.AN=a\)(ko đổi ) . ta cx có ID.IE ko đổi , đặt \(b=ID.IE=r^2-KI^2=>KI^2-KA^2=a-b\)

Gọi H là hình chiếu K lên AB theo định lý Pitago ta có

\(HI^2-HA^2=\left(KI^2-KH^2\right)-\left(KA^2-KH^2\right)=KI^2-KA^2=a-b\)( ko đổi )

=> H cố định . Zậy K thuộc đường thẳng H zuông qóc AB cố định

em ko chắc ạ