Cho tam giác ABC cân tại C. Gọi M và N là trung điểm của CA, CB và cắt nhau tại I. Chứng minh: a) CI là phân giác của góc C; b) MN // AB.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, ta có tam giác ABC cân tại C suy ra CA=CB ( t/c ) ; ta có CM=MA = CA/2 (gt) , CN=NB = CB/2 (gt) Mà CA=CB suy ra CM=CN
xét tam giác CIN và tam giác CIM , có : góc N = góc M =90o, CI chung , CN=CM suy ra 2 tam giác = nhau theo trường hợp (ch-gn)
b, vì tam giác CIM = tam giác CNI (cmt) suy ra góc MCI = góc NCI (2 góc tương ứng )
suy ra CI là phân giác của góc C
c, xét tam giác CKA và tam giác CKB , có : góc C1 = góc C2 ( cmt),CA=CB ( t/c tam giác cân ) ,góc A= góc B ( t/c tam giác cân ) suy ra 2 tam giác = nhau theo trường hợp( g-c-g ) suy ra góc K1 = góc K2 ( góc tương ứng ) Mà góc K1 + góc K2 = 180o ( kề bù ) suy ra góc K1=góc K2= 180o/2 =90o suy ra CK vuông góc với AB ( 1 ) tam giác CKA = CKB (cmt) suy ra KA=KB (cạnh tương ứng ) ( 2 )
từ (1) và (2 ) suy ra CK hay CI là đường trung trực của AB
Xét \(\Delta ICE\)và \(\Delta ICF\)có :
\(\widehat{E}=\widehat{F}=90^0\)
CI chung
CE = CF(vì \(CE=\frac{1}{2}AC,CF=\frac{1}{2}CB\)mà CB = AC(\(\Delta\)cân tại C))
=> \(\Delta ICA=\Delta ICF\left(ch-cgv\right)\)
=> \(\widehat{C}_1=\widehat{C}_2\)
=> CI là tia phân giác của góc C
a)
*AMN cân
Vì t/g ABC cân tại A (gt)
=>^B=^C
Do đó: ^ABM=^ACN
Xét t/ABM và t/gACN có
góc ^A chung
AB=AC ( vì t/g ABC cân)
^ABM=^ACN (cmt)
Nên t/gABM=t/gACN (g.c.g)
=>AM=AN (2 cạnh tương ứng = nhau)
=> tam giác ANM cân
*MN//BC
Từ tam giác ANM cân nên => ^A+^ANM+^AMN=180o
tam giác ABC cân nên=>^A+^B+^C=180o
Mà ^B=^C
^ANM=^AM
Nên: ^C=^ANM
=>^MCN=^ANM
Mà 2 góc này lại ở vị trí so le trong
Do đó MN//BC (đpcm)
b)
Vì t/g ABC cân tại A
^ABC=^ACB
Mà BM là tia p/g của ^ABC
CN là tia p/g của ^ACB
do đó: ^MBC=^NCB
=> tam giác EBC cân tại E
Xét t/g AEB và t/g AEC có:
AB=AC (vì t/g ABC cân)
^ABM=^ACN (cmt)
=BE=CE (EBC cân)
=> t/gAEB=t/gAEC(c.g.c)
=>^BAE=^CAE (2 góc tương ứng = nhau)
Do đó AE là tia phân giác của t/gBAC (1)
Xét t/g AIB và t/gAIC có
AB=AC ( vì t/g ABC cân)
IB=IC (I là trung điểm BC)
=>tam giác AIB=t/gAIC (c.g.c)
=>^IAB=^IAC (2 góc tương ứng = nhau)
Do đó:AI là tia phân giác của ^BAC (2)
Từ (1) và (2) => A,I,E thằng hàng ( 2 tia phân giác của 1 góc thì thẳng hàng).