Giai hệ phương trình
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=1\\x^2-x=y^2-y\end{cases}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 9 2017
Ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y}+x=2\left(1\right)\\\frac{y^2}{x}+y=\frac{1}{2}\left(2\right)\end{cases}}\)
Nhân từng vế (1) và (2), ta có\(x^2+2xy+y^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=1\\x+y=-1\end{cases}}\)
+Xét \(x+y=1\Leftrightarrow x=1-y\)
\(\left(1\right)\Rightarrow\frac{1^2-2y+y^2}{y}+\left(1-y\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{y}-2+y+1-y=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{y}=3\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}\)
Thay\(y=\frac{1}{3}\)vào (2) ta được \(x=\frac{2}{3}\)( thỏa mãn)
+Xét \(x+y=-1\)
Tương tự ta có \(y=1;x=-2\)( thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm \(\left(y;x\right)=\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right);\left(1;-2\right)\)
17 tháng 2 2019
\(\hept{\begin{cases}y=2\sqrt{x-1}\left(1\right)\\\sqrt{x+y}=x^2-y\left(2\right)\end{cases}}\) (ĐKXĐ: \(x\ge1;x\ge-y;\left(x;y\right)\in R\))
Thế (1) vào (2) ta được phương trình: \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=x^2-2\sqrt{x-1}\)
\(\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}=x^2-2\sqrt{x-1}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}=x^2-2\sqrt{x-1}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+1=x^2-2\sqrt{x-1}\) (Do \(\sqrt{x-1}+1>0\))
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)-3\sqrt{x-1}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x-1}\left(x+1\right)-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\\sqrt{x-1}\left(x+1\right)=3\left(3\right)\end{cases}}\)
\(\left(3\right)\Leftrightarrow x^3+x^2-x-10=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+3x+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2=0\\x^2+3x+5=0\left(vn\right)\end{cases}\Leftrightarrow}x=2\). Từ (1) suy ra: \(y=2\)
Vậy hệ PT cho có nghiệm duy nhất (x;y)=(2;2)
10 tháng 9 2020
1) \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2-xy=1\\x+x^2y=2y^3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x^2+y^2=1+xy\\x\left(1+xy\right)=2y^3\end{cases}\Rightarrow x\left(x^2+y^2\right)=2y^3}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^3\right)+\left(xy^2-y^3\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2+xy\right)+y^2\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+2y^2+xy\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x^2+2y^2+xy=0\end{cases}}\)
+) \(x=y\Rightarrow\hept{\begin{cases}y^2+y^2-y^2=1\\y+y^3=2y^3\end{cases}\Rightarrow}x=y=\pm1\)
+) \(x^2+2y^2+xy=0\)Vì y=0 không là nghiệm của hệ nên ta chia 2 vế phương trình cho y2:
\(\Rightarrow\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{x}{y}+2=0\)( Vô nghiệm)
Vậy hệ có nghiệm (1;1),(-1;-1).
2/ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{x+3y}\\x^2+y^2+xy=3\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+2xy=x+3y\\x^2+y^2+xy=3\end{cases}}}\Rightarrow xy=x+3y-3\)
\(\Leftrightarrow\left(x-xy\right)+\left(3y-3\right)\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(1-y\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\Rightarrow y\in\varnothing\\y=1\Rightarrow x=1\end{cases}}\)
Vậy hệ có nghiệm (1;1).
T
23 tháng 10 2019
b) HPT \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2=2xy\left(xy+1\right)\left(1\right)\\\left(x+y\right)\left(xy+1\right)=\left(2xy\right)^2\left(2\right)\end{cases}}\)
Công theo vế 2 pt trên cho nhau: \(\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)\left(xy+1\right)=2xy\left(xy+1\right)+\left(2xy\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-2xy\right)\left(x+y+2xy\right)+\left(xy+1\right)\left(x+y-2xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-2xy\right)\left(x+y+3xy+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=2xy\\x+y+3xy+1=0\end{cases}}\)
* Với x + y = 2xy.
Thay vào (1) ta có: \(\left(2xy\right)^2=2xy\left(xy+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2xy\left(xy-1\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}xy=0\\xy=1\end{cases}}\)
+) Với xy = 0 suy ra x +y = 0 => x =y = 0
+) Với xy = 1 => x +y = 2xy = 2
Theo hệ thức Viet đảo: x, y là hai nghiệm của hệ:
\(t^2-2t+1=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow x=y=1\)
* Với x +y + 3xy + 1 = 0.
\(\Rightarrow x+y=-\left(3xy+1\right)\)
Thay vào (1) ta thu được: \(\left(3xy+1\right)^2=2xy\left(xy+1\right)\)
\(\Leftrightarrow7x^2y^2+4xy+1=0\) . Ta có: \(7x^2y^2+4xy+1=7t^2+4t+1=7\left(t+\frac{2}{7}\right)^2+\frac{3}{7}>0\forall t=xy\)
Do đó với x +y + 3xy + 1 = 0 thì pt vô nghiệm.
=> (x;y) = {(0;0) , (1;1)}
P/s: Em mới học giải hệ thôi nên ko chắc về cách giải lẫn cách trình bày đâu nha!
T
23 tháng 10 2019
c) HPT \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x^2+1\right)+y\left(x+y-2\right)=2y\\\left(x^2+1\right)\left(x+y-2\right)=y\end{cases}}\)
Với y = 0 thay vào pt đầu suy ra \(x^2+1=0\) (vô nghiệm)
Xét y khác 0 khi đó HPT \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{\left(x^2+1\right)}{y}+\left(x+y-2\right)=2\\\frac{\left(x^2+1\right)}{y}\left(x+y-2\right)=1\end{cases}}\)
Đặt \(\frac{x^2+1}{y}=a;x+y-2=b\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}a+b=2\\ab=1\end{cases}}\) theo hệ thức Viet đảo: a, b là hai nghiệm của pt \(t^2-2t+1=0\Rightarrow t=1\Rightarrow a=b=1\)
Do b = 1 suy ra \(x+y-2=1\Leftrightarrow x=3-y\).
Anh thử giải nốt xem sao?Em ko chắc đâu nhá!
31 tháng 3 2018
2 \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2+1}{y}=\frac{y^2+1}{y}\left(1\right)\\x^2+3y^2=4\left(2\right)\end{cases}}\)
ĐK \(x,y\ne0\)
Từ \(\frac{y^2+1}{y}=\frac{x^2+1}{x}\Leftrightarrow xy^2+x=x^2y+y\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\xy=1\end{cases}}\)
+ thay \(x=y\)vào (2) ta dc ..................
+xy=1 suy ra 1=1/y thay vao 2 ta dc............
4 tháng 9 2019
\(b,\hept{\begin{cases}4\left(x+y\right)=5\left(x-y\right)\\\frac{40}{x+y}+\frac{40}{x-y}=9\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4\left(x+y\right)^2\left(x-y\right)-5\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)=0\\40\left(x-y\right)+40\left(x+y\right)-9\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x^2-y^2\right)\left[4\left(x+y\right)-5\left(x-y\right)\right]=0\\80x-9\left(x^2-y^2\right)=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)\left(x-y\right)\left(9y-x\right)=0\\9\left(\frac{80}{9}x-x^2+y^2\right)=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow.......\)
bài này mình thấy chỉ cần thế này là xong
\(x^2+y^2=1\Leftrightarrow x+y=\sqrt{1}=1\)( có đúng ko nhỉ )
=>\(x+y=0+1=1+0\)
\(=>\left\{x,y\right\}\in\left(0,1\right);\left(1,0\right)\)
P/s : làm thử , e ms lớp 8 .
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=1\\x^2-x=y^2-y\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=1-y^2\\x^2-y^2=x-y\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=1-y^2\\\left(x-y\right)\left(x+y\right)=x-y\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=1-y^2\\x+y=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=1-y^2\left(1\right)\\x=1-y\left(2\right)\end{cases}}\)
Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta có :
\(\left(1-y\right)^2=1-y^2\)
\(\Leftrightarrow1-2y+y^2=1-y^2\)
\(\Leftrightarrow1+y^2-1+y^2=2y\)
\(\Leftrightarrow2y^2=2y\)
\(\Leftrightarrow2y^2-2y=0\)
\(\Leftrightarrow2y\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\y=1\end{cases}}\)
T/h 1 : y = 0
=> x = 1 - 0 = 1
T/h 2 : y = 1
=> x = 1 - 1 = 0
Vậy ...................