Question

[Trần Đức Tài]

Cho tam giác đều ABC, gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD của tam giác ABD.

a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình chữ nhật.

b) Kẻ AH vuông góc với BC, H ∈ BC, từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt tia AH tại E. Chứng minh: Ba điểm E, C, N thẳng hàng và tam giác ADE là tam giác đều.

c) So sánh S​_ABD và S_ABEC.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔABD có

M là trung điểm của AB(gt)

C là trung điểm của BD(B và D đối xứng nhau qua C)

Do đó: MC là đường trung bình của ΔABD(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MC//AD và \(MC=\frac{AD}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà \(AN=ND=\frac{AD}{2}\)(N là trung điểm của AD)

nên MC=AN=ND

Xét tứ giác AMCN có MC//AN(MC//AD, N∈AD) và MC=AN(cmt)

nên AMCN là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Xét ΔABD có

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của AD(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABD(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MN//BD và \(MN=\frac{BD}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà \(BC=CD=\frac{BD}{2}\)(B và D đối xứng nhau qua C)

nên BC=MN=CD

mà AC=BC(ΔABC đều)

nên AC=MN

Hình bình hành AMCN có AC=MN(cmt)

nên AMCN là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b)

*Chứng minh E,C,N thẳng hàng

Ta có: AH là đường cao của ứng với cạnh BC của ΔABC đều(gt)

⇒AH cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

hay H là trung điểm của BC

⇒BH=HC

Xét ΔAHC vuông tại H và ΔBHE vuông tại H có

HC=BH(cmt)

\(\widehat{ACH}=\widehat{EBH}\)(So le trong, BE//AC)

Do đó: ΔAHC=ΔBHE(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

⇒AH=EH(hai cạnh tương ứng)

mà H nằm giữa A và E

nên H là trung điểm của AE

Xét tứ giác ACEB có

H là trung điểm của đường chéo BC(cmt)

H là trung điểm của đường chéo AE(cmt)

Do đó: ACEB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒EC//AB(hai cạnh đối của hình bình hành ACEB)

mà CN//AB(CN//AM, B∈AM)

và EC và CN có điểm chung là C

nên E,C,N thẳng hàng(đpcm)

Answer 2

[Trần Thanh Phương]

Mình làm nốt 2 ý còn lại.

b) Dễ dàng chứng minh tam giác ADE cân tại A.

Mặt khác ta có ^BAH = ^ADC = ^CAD

=> ^HAD = ^BAC = 60^0

Tam giác ADE cân tại A có ^BAC = 60^0 => tam giác ADE đều ( đpcm )

c) Vì BE // AC và AB // CE nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Mà 2 đường chéo AE và BC vuông góc nên ABEC là hình thoi

\(\Rightarrow S_{ABEC}=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot BC\)

Ta có: \(S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot2BC=AH\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot BC=S_{ABEC}\)