cho x+y+z=0 Cm (y+z)/x + (x+z)/y +(x+y)/z +3=0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TL
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
VA
0
1 tháng 11 2017
A = \(\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2z+y^2z-xyz\right)=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z\left(x^2-xy+y^2\right)=\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+z\right)=\left(x^2-xy+y^2\right).0=0\)Kuroba Kaito = Kaito Kid :D
NK
0
TT
0
DN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2016
Lời giải:
Để ý rằng \((x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\)
Áp dụng BĐT AM-GM thì \((x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz\)
\(\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(xy+yz+xz)(x+y+z)\)
Mặt khác, dùng AM-GM dễ thấy rằng \(xy+yz+xz\geq\sqrt[3]{(xyz)^2}=3\)
Do đó \(\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{3}(xy+yz+xz)(x+y+z)\)
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$
Ta có: \(x+y+z=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(z+x\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{matrix}\right.\)
Đặt \(A=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}+3\)
Thay \(x=-\left(y+z\right),\) \(y=-\left(z+x\right),\) \(z=-\left(x+y\right)\) vào A, ta có:
\(A=\frac{y+z}{-\left(y+z\right)}+\frac{z+x}{-\left(z+x\right)}+\frac{x+y}{-\left(x+y\right)}+3\)
\(\Leftrightarrow A=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+3\)
\(\Leftrightarrow A=-3+3\)
\(\Leftrightarrow A=0\) ( ĐPCM )
ta có:
\(\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+3\)
=\(\frac{y+z}{x}+1+\frac{x+z}{y}+1+\frac{x+y}{z}+1\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
mà x+y+z=0
\(\Rightarrow\)dpcm