NK
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KH
9 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\left(1\right)\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\left(2\right)\)
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\left(3\right)\)
Nhân lần lượt từng vế của ba bđt 1;2;3 ta được:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{xz}.2\sqrt{yz}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8xyz\)
NN
1
15 tháng 4 2019
(x+y)(y+z)(x+z)=8xyz
<=>\((xy+xz+y^2+yz)(x+z)=8xyz\)
<=>\(x^2y+x^2z+y^2z+xyz+xyz+xz^2+z^2y+yz^2=8xyz\)
<=> \(x^2y+x^2z+y^2x+xz^2+y^2z+yz^2-6xyz=0\)
<=> \(y(x^2+z^2-2xz)+x(y^2-2yz+z^2)+z(y^2-2yx+x^2)=0\)
<=>\(y(x-z)^2+x(y-z)^2+z(x-y)^2=0\)
Mà x,y,z dương
=> \((x-z)^2=0=>x=z\)
\((x-y)^2=0=>x=y\)
\((y-z)^2=0=>y=z\)
Vậy x=y=z
TM
0
HN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 3 2019
Bạn chép sai đề, đề đúng phải là \(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Áp dụng các BĐT quen thuộc:
\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)
\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)
Cộng vế với vế:
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
I
2
KY
16 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT Cô - si, ta có:
\(x+y+z+xy+yz+xz\le\frac{x^2+1}{2}+\frac{y^2+1}{2}+\frac{z^2+1}{2}\)
\(+xy+yz+xz=\frac{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz+3}{2}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow6\le\frac{\left(x+y+z\right)^2+3}{2}\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\ge12\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge9\)
Vì x,y,z > 0 nên \(x+y+z\ge3\)
\(x^2+y^2+z^2=\left(x^2+1\right)+\left(y^2+1\right)+\left(z^2+1\right)-3\)
\(\ge2\left(x+y+z\right)-3\ge2.3-3=3\)
Vậy \(x^2+y^2+z^2\ge3\left(đpcm\right)\)
K
0
TM
1