Giải hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1\\\sqrt{x^2-1}+\sqrt{y^2-1}=\sqrt{xy+2}\end{matrix}\right.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 6 2019
\(e,\left\{{}\begin{matrix}\left(\frac{x}{y}\right)^3+\left(\frac{x}{y}\right)^2=12\\\left(xy\right)^2+xy=6\end{matrix}\right.\left(x;y\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y}=2\\xy\in\left\{2;-3\right\}\end{matrix}\right.\)
Vì \(\frac{x}{y}=2>0\Rightarrow xy>0\Rightarrow xy=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y}=2\\xy=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2y\\2y^2=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\left(h\right)\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-1\end{matrix}\right.\)
20 tháng 6 2019
\(a,\left\{{}\begin{matrix}x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{x}{y}=3\\x+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\left(x;y\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\frac{1}{y}\right)^2-\frac{x}{y}=3\\\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{1}{y}=a\\\frac{x}{y}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b=3\\a+b=3\end{matrix}\right.\)
Làm nốt nha
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2020
a/ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2+x\right)+\left(y^2+y\right)=18\\\left(x^2+x\right)\left(y^2+y\right)=72\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo, \(x^2+x\) và \(y^2+y\) là nghiệm của:
\(t^2-18t+72=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=12\\t=6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x^2+x=6\\y^2+y=12\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x^2+x=12\\y^2+y=6\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=\left\{2;-3\right\}\\y=\left\{3;-4\right\}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\left\{3;-4\right\}\\y=\left\{2;-3\right\}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2020
b/ ĐKXĐ: ...
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y+1}=1\\x=\frac{3y-1}{y}\end{matrix}\right.\)
Nhận thấy \(y=\frac{1}{3}\) không phải nghiệm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y+1}=1\\\frac{1}{x}=\frac{y}{3y-1}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{y}{3y-1}+\frac{1}{y+1}=1\)
\(\Leftrightarrow y\left(y+1\right)+3y-1=\left(3y-1\right)\left(y+1\right)\)
\(\Leftrightarrow y^2-y=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\left(l\right)\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 9 2019
1/ ĐKXĐ:...
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+x+y+1=4\\\frac{1}{\left(x+1\right)^2-1}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2-1}=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\\\frac{1}{\left(x+1\right)^2-1}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2-1}=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=a\\y+1=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=4\\\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{b^2-1}=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{\frac{16}{a^2}-1}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow a^4-8a^2+16=0\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=\pm2\Rightarrow x=...\)
b/ ĐKXĐ: ...
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}-\sqrt{2-\frac{1}{x}}=0\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}+\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{\sqrt{2-\frac{1}{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}}=0\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}+\frac{y-x}{xy\sqrt{2-\frac{1}{y}}+xy\sqrt{2-\frac{1}{x}}}=0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)\left(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{y}+\sqrt{x}}{xy\sqrt{2-\frac{1}{y}}+xy\sqrt{2-\frac{1}{x}}}=0\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{y}=\sqrt{x}\Rightarrow y=x\) (ngoặc phía sau luôn dương)
Thay vào pt đầu:
\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2\)
Mặt khác áp dụng BĐT \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}\le\sqrt{2\left(\frac{1}{x}+2-\frac{1}{x}\right)}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{2-\frac{1}{x}}\Rightarrow\frac{1}{x}=2-\frac{1}{x}\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)
31 tháng 5 2021
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}\left(1\right)\\\left|x-1\right|+\left|y-2\right|=1+x^2-y^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\\xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}-y=\sqrt{y}-\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y\left(x-y\right)+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}{\sqrt{xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}+y}=\dfrac{x-y}{-xy}\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\dfrac{y+\dfrac{1}{x^2+y^2+1}}{\sqrt{xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}+y}+xy\right]=0\Leftrightarrow x=y\).
Thay x = y vào (2) ta có \(\left|y-1\right|+\left|y-2\right|=1\). (*)
Ta có \(\left|y-1\right|+\left|y-2\right|=\left|y-1\right|+\left|2-y\right|\ge y-1+2-y=1\).
Mà đẳng thức xảy ra ở (1) nên ta phải có \(1\le y\le2\). (TMĐK)
Vậy pt đã cho có vô số nghiệm \(x=y=k\) với \(1\le k\le2\)
NM
1 tháng 6 2021
Sao VP (1) bạn biến đổi từ \(\sqrt{y}-\sqrt{x}\) ra \(\dfrac{x-y}{-xy}\) được vậy?
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 7 2020
ĐKXĐ: ...
\(\sqrt{xy+\frac{x-y}{x^2+y^2+1}}-y+\sqrt{x}-\sqrt{y}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy-y^2+\frac{x-y}{x^2+y^2+1}}{\sqrt{xy+\frac{x-y}{x^2+y^2+1}}+y^2}+\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\frac{y+\frac{1}{x^2+y^2+1}}{\sqrt{xy+\frac{x-y}{x^2+y^2+1}}+y^2}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-y=0\Rightarrow x=y\) (ngoặc to bự luôn dương với x;y không âm)
Thay xuống dưới:
\(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|=1\)
\(\Leftrightarrow1=\left|2-x\right|+\left|x-1\right|\ge\left|2-x+x-1\right|=1\)
Dấu "=" xảy ra nên \(\left(2-x\right)\left(x-1\right)\ge0\Rightarrow1\le x\le2\)
Vậy nghiệm của hệ là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\1\le x;y\le2\end{matrix}\right.\)
T
15 tháng 9 2019
1/ĐK: x, y khác 0.
\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=5\left(1\right)\\x^2y^2-2xy=x^2-y^2+1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
(2) \(\Leftrightarrow x^2y^2-x^2+y^2-1=2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2-1\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y-\frac{1}{y}\right)=2\) (*)
Mặt khác từ (1) ta có: \(\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2-2+\frac{1}{y^2}\right)=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=5\) (**)
Đặt \(x+\frac{1}{x}=a;y-\frac{1}{y}=b\) kết hợp (*) và (**) thu được:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=5\\ab=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=5\\ab=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^2=9\\ab=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\ab=2\end{matrix}\right.\left(3\right);\left\{{}\begin{matrix}a+b=-3\\ab=2\end{matrix}\right.\left(4\right)\)
Xét (3): Theo định lý Viet đảo, a, b là hai nghiệm của pt:
\(t^2-3t+2=0\) giải ra rồi xét các trường hợp (giải quá, em ko làm)
Xét (4): Theo định lý Viet đảo, a, b là hai nghiệm của pt:
\(t^2+3t+2=0\) giải ra rồi xét các trường hợp (giải quá, em ko làm)
Is that true?
S
20 tháng 9 2019
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2-\frac{1}{2x+y}\right)\sqrt{y}=2\\\left(2+\frac{1}{2x+y}\right)\sqrt{x}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{y}-\frac{\sqrt{y}}{2x+y}=2\\2\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2x+y}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{2x+y}=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(2-\frac{1}{2x+y}\right)=0\)
\(+,\sqrt{x}=\sqrt{y}\Leftrightarrow x=y\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2-\frac{1}{3x}\right)\sqrt{x}=2\\\left(2+\frac{1}{3x}\right)\sqrt{x}=2\end{matrix}\right.\Rightarrow x=0\left(l\right)\)
\(+,\frac{1}{2x+y}=2\Rightarrow l\)
\(\Rightarrow hptvn\)