Question

[Ahwi]

1/Cho (O;R) và 1 điểm A ngoài đường tròn O. Qua A vẽ các tiếp tuyến AB và AC với (O) , b và C là các tiếp điểm.Gọi H giao điểm AO và BC. CHứng minh 

a/ ABOC là tg nội tiếp    b/ Kẻ đường kính BD, vẽ CK vuông góc BD, CMinh: AC.CD=AO.CK     c/ AD cắt CK tại I. Chứng minh I là trung điểm của CK

P/s mik chỉ cần giúp câu c thoi ạ

2/ Từ điểm A ngoài đường tròn O. Qua A vẽ các tiếp tuyến AM và AN với (O), đường thẳng d đi qua A cắt (o) tại 2 điểm phân biệt B,C ( B giữa A và C)

a/ CMR: AMON nội tiếp      b/  AM^2=AB.AC     c/Gọi H trung điểm BC.CMinh HA là tia p/g góc MHN      d/kẽ BE // AM (e thuộc MN)chứng minh HE//CM

P/s : mik cần giúp câu c,d thoi ạ. xincamon

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

1)

c) Ta có : CK // AB ( \(\perp\)BD )

Xét \(\Delta ABD\)theo định lí Ta-let,ta có :

\(\frac{IK}{AB}=\frac{KD}{BD}\Rightarrow IK.BD=AB.KD\)( 1 )

Xét \(\Delta ABO\)và \(\Delta CKD\)có 

\(\widehat{ABO}=\widehat{CKD}=90^o\); \(\widehat{AOB}=\widehat{CDK}\)( cùng bù \(\widehat{CBD}\)) 

\(\Rightarrow\Delta ABO\approx\Delta CKD\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{KD}{BO}=\frac{CK}{AB}\Rightarrow CK.BO=KD.AB\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(CK.BO=IK.BD=IK.2BO\)

\(\Rightarrow CK=2IK\)\(\Rightarrow\)I là trung điểm của CK

Answer 2

[Thanh Tùng DZ]

2) 

c) dễ thấy AM = AN \(\Rightarrow\Delta AMN\)cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)( 1 )

vì H là trung điểm dây BC nên \(OH\perp BC\)hay \(\widehat{AHO}=90^o\)

Từ đó dễ dàng suy ra 5 điểm A,M,O,H,N cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow\)Từ giác AMHN nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AHN}=\widehat{AMN};\widehat{AHM}=\widehat{ANM}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\widehat{AHN}=\widehat{AHM}\)\(\Rightarrow\)HA là tia phân giác \(\widehat{MHN}\)

d) BE // AM \(\Rightarrow\widehat{EBH}=\widehat{MAB}\)

\(\widehat{MAH}=\widehat{MNH}\)( do tứ giác AMHN nội tiếp )

\(\Rightarrow\widehat{EBH}=\widehat{MNH}\)\(\Rightarrow\)Tứ giác EBNH nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{EHB}=\widehat{ENB}\)

Mặt khác : \(\widehat{ENB}=\widehat{MCB}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{MB}\right)\)

Suy ra \(\widehat{EHB}=\widehat{MCB}\Rightarrow HE//MC\)