Cho \(a+b=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M=a^3+b^3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 6 2020
Bài 2:
Ta có: M = a2+ab+b2 -3a-3b-3a-3b +2001
=> 2M = ( a2 + 2ab + b2) -4.(a+b) +4 + (a2 -2a+1)+(b2 -2b+1) + 3996
2M= ( a+b-2)2 + (a-1)2 +(b-1)2 + 3996
=> MinM = 1998 tại a=b=1
13 tháng 6 2020
Câu 3:
Ta có: P= x2 +xy+y2 -3.(x+y) + 3
=> 2P = ( x2 + 2xy +y2) -4.(x+y) + 4 + (x2 -2x+1) +(y2 -2y+1)
2P = ( x+y-2)2 +(x-1)2+(y-1)2
=> MinP = 0 tại x=y=1
HT
9
20 tháng 11 2016
Ta có : b = 1 - a, do đó M= a3+(1-a)3 = 3 (a-1/2)2 + 1/4 ≥ 1/4. Dấu "=" xảy ra khi a = 1/2
Vậy min M = 1/4 a=b=1/2
Không biết đúng k nữa,sai thì nói mình nha
VH
2
30 tháng 9 2018
\(a+b=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2=1\)
\(\Rightarrow ab=\frac{1-a^2-b^2}{2}\)
\(\Rightarrow M=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=1-3ab\)
\(=1-\frac{3-3a^2-3b^2}{2}\)
Để M nhỏ nhất
\(\Rightarrow\frac{3-3\left(a^2+b^2\right)}{2}\)phải có Max
=> \(3-3\left(a^2+b^2\right)\)đạt Max
Có \(3-3\left(a^2+b^2\right)\le3\left(Dấu"="xayrakhia=0;b=0\right)\)
Vậy Min M = 1-3/2=-1/2
Với a = 0 ; b = 0
30 tháng 9 2018
M=a3+b3
=(a+b)(a2 +b2 + ab) ( hằng đẳng thức)
Mà a+b=1 nên:
M=a2 +b2 - ab
M= ( a^2 + b^2 + 2ab) - 3ab
M= ( a+b)2 - 3ab
Lại có a+b=1 nên:
M= 12 - 3ab = 1 - 3ab
3ab \(\le\)\(\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\)
=> M \(\ge\)\(-\)\(\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\) = 1-3/4 = 1/4
Do đó MinM = 1/4
=>a=b=1/2
23 tháng 10 2016
bài 5 nhé:
a) (a+1)2>=4a
<=>a2+2a+1>=4a
<=>a2-2a+1.>=0
<=>(a-1)2>=0 (luôn đúng)
vậy......
b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:
a+1>=\(2\sqrt{a}\)
tương tự ta có:
b+1>=\(2\sqrt{b}\)
c+1>=\(2\sqrt{c}\)
nhân vế với vế ta có:
(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)
<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)
<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)
vậy....
MT
4
19 tháng 9 2016
\(M=a^3+b^3\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\) ( Hằng đẳng thức )
Mà \(a+b=1\) , nên :
\(M=a^2+b^2-ab\)
\(=\left(a^2+b^2+2ab\right)-3ab\)
\(=\left(a+b\right)^2-3ab\)
Lại có : \(a+b=1\) , nên :
\(M=1^2-3ab=1-3ab\)
\(3ab\le\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow M\ge1-\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
Do đó : \(Min_M=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
19 tháng 9 2016
Ta có : \(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=1-3ab\)
Vì \(a+b=1\) là một tổng không đổi nên ab đạt giá trị lớn nhất khi a = b
=> -ab đạt giá trị nhỏ nhất khi a = b mà a + b = 1 => a = b = 1/2
Thay a = b = 1/2 vào M được \(a^3+b^3\ge\left(\frac{1}{2}\right)^3+\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{4}\)
Vậy min M = 1/4 <=> a = b = 1/2
AL
2
12 tháng 2 2016
Ta có :
M = a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab(a+b) = 1-3ab
Áp dụng BĐT Cosi , ta được :
a+b lớn hơn hoặc bằng 2.căn(ab)
=> 2.căn(ab) nhỏ hơn hoặc bằng 1 (vì a+b=1)
=>ab nhỏ hơn hoặc bằng 1/4
=> 3ab nhỏ hơn hoặc bằng 3/4
=> 1-3ab lớn hơn hoặc bằng 1/4
hay : M lớn hơn hoặc bằng 1/4
Dấu "=" xảy ra khi :
a=b và a+b=1 <=> a=b=1/2
Vậy : MinM=1/4 đạt được tại a=b=1/2
\(M=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=1-3ab\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(M\ge1-3.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
\(M=\frac{\left(4a-2b-1\right)^2}{16}+\frac{3\left(2b-1\right)^2}{16}+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Hoặc một cách phân tích khác:
\(M=\frac{\left(a+1\right)\left(2a-1\right)^2}{4}+\frac{\left(b+1\right)\left(2b-1\right)^2}{4}+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)