Question

[👁💧👄💧👁]

1. Cho △ABC, M là điểm nằm trong △ABC. Gọi I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng:

a) MA + MB < IA + IB

b) MA + MB < AC + BC

2. Cho 2 điểm A, B nằm ngoài đường thẳng d và cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ d. Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d để AM + BM nhỏ nhất.

3. Cho △ABC (AB > AC). Tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt BC tại D. M là điểm nằm trên đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng MB - MC < AB - AC

Answer 1

[Sách Giáo Khoa]

Bài 2. Lời giải:

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M. M chính là điểm cần tìm.

- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’. Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B .

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B lớn hơn hoặc bằng A'B. Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng. Nghĩa là M trùng với M’

Answer 2

[Vũ Minh Tuấn]

Bài 1:

a) Vì M là điểm nằm trong \(\Delta ABC\left(gt\right)\)

=> 3 điểm \(A,M,I\) không thẳng hàng.

+ Xét \(\Delta AMI\) có:

\(MA< MI+IA\) (theo bất đẳng thức trong tam giác) (1).

Cộng \(MB\) vào hai vế của (1) ta được:

\(MA+MB< MB+MI+IA\)

Mà \(MB+MI=IB\left(gt\right)\)

=> \(MA+MB< IB+IA.\)

Hay \(MA+MB< IA+IB\left(đpcm1\right).\)

b) Vì I là giao điểm của \(BM\) và \(AC\left(gt\right)\)

=> 3 điểm \(B,I,C\) không thẳng hàng.

+ Xét \(\Delta BIC\) có:

\(IB< IC+BC\) (theo bất đẳng thức trong tam giác) (2).

Cộng \(IA\) vào hai vế của (2) ta được:

\(IA+IB< IA+IC+BC\)

Mà \(IA+IC=AC\left(gt\right)\)

=> \(IA+IB< AC+BC.\)

Mà \(MA+MB< IA+IB\left(cmt\right)\)

=> \(MA+MB< AC+BC\left(đpcm2\right).\)

Chúc bạn học tốt!