Question

[trần trác tuyền]

Giải hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2xy-3y^2=0\\x^2+y^2+2x+3y=19\end{matrix}\right.\)

Answer 1

[trần cẩm tú]

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2xy-3y^2=0\\x^2+y^2+2x+3y=19\end{matrix}\right.\) giải PT \(x^2-2xy-3y^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2-4y^2=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-4y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+2y\right)\left(x-y-2y\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-3y\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\x=3y\end{matrix}\right.\)

+) Nếu x=-y Thay vào PT thứ 2 ta được

\(\left(-y\right)^2+y^2+2\left(-y\right)+3y=19\) \(\Leftrightarrow2y^2+y=19\) \(\Leftrightarrow2y^2+y-19=0\)

Đây là PT bậc 2 ẩn y nên\(\Delta=1^2+2.4.19=153>0\)

\(\Rightarrow\) PT có 2 nghiệm phân biệt \(\left[{}\begin{matrix}y=\frac{-1+3\sqrt{17}}{4}\Rightarrow x=\frac{1-3\sqrt{17}}{4}\\y=\frac{-1-3\sqrt{17}}{4}\Rightarrow x=\frac{1+3\sqrt{17}}{4}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

+) Nếu x=3y Thay vào PT thứ 2 ta được

\(\left(3y\right)^2+y^2+2.3y+3y=19\) \(\Leftrightarrow9y^2+y^2+6y+3y=19\)

\(\Leftrightarrow10y^2+9y=19\) \(\Leftrightarrow10y^2+9y-19=0\) \(\Leftrightarrow\left(10y^2-10y\right)+\left(19y-19\right)=0\) \(\Leftrightarrow10y\left(y-1\right)+19\left(y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(10y+19\right)\left(y-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\Rightarrow x=3\\y=\frac{-19}{10}\Rightarrow x=\frac{-57}{10}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

Vậy HPT có 4 cặp nghiệm (x,y)là\(\left(\frac{1-3\sqrt{17}}{4};\frac{-1+3\sqrt{17}}{4}\right);\)\(\left(\frac{1+3\sqrt{17}}{4};\frac{-1-3\sqrt{17}}{4}\right)\);(3;1);

\(\left(\frac{-57}{10};\frac{-19}{10}\right)\)