Cho a+b+c=0. Tính giá trị của biểu thức :
\(Q=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-b^2-a^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
19 tháng 12 2016
http://diendantoanhoc.net/topic/152549-t%C3%ADnh-fraca2a2-b2-c2-fracb2b2-c2-a2fracc2c2-b2-a2/
19 tháng 12 2016
Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow1\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2=-2ab+c^2\\b^2+c^2=-2bc+a^2\\c^2+a^2=-2ac+b^2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow1A=\frac{a^2}{a^2+2bc-a^2}+\frac{b^2}{b^2+2ac-b^2}+\frac{c^2}{c^2+2ab-c^2}\)
\(=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc+3abc}{2abc}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc}{2abc}\)
\(=\frac{3}{2}\)
30 tháng 6 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\Rightarrow ab+bc+ca=0\\ \)
\(\Rightarrow bc=-ab-ac,ca=-ab-bc,ab=-bc-ca\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+bc}{a^2+2bc}=\frac{a^2+bc}{a^2+bc+bc}=\frac{a^2+bc}{a^2+bc-ca-ab}=\frac{a^2+bc}{\left(a-b\right).\left(a-c\right)}\)
Làm tương tự. có: \(\frac{b^2+ca}{b^2+2ca}=\frac{b^2+ca}{b^2+ca-ab-bc}=\frac{b^2+ca}{\left(a-b\right).\left(c-b\right)}\)
\(\frac{c^2+ab}{c^2+2ab}=\frac{c^2+ab}{c^2+ab-ca-bc}=\frac{c^2+ab}{\left(b-c\right).\left(a-c\right)}\)
\(\Rightarrow A=\frac{a^2+bc}{\left(a-b\right).\left(a-c\right)}+\frac{b^2+ca}{\left(a-b\right).\left(c-b\right)}+\frac{c^2+ab}{\left(b-c\right).\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{\left(a^2+bc\right).\left(b-c\right)}{\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(a-c\right)}-\frac{\left(b^2+ca\right).\left(a-c\right)}{\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(a-c\right)}+\frac{\left(c^2+ab\right).\left(a-b\right)}{\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(a-c\right)}\)
Sau đó bạn thực hiện tiếp nhé.
MV
2 tháng 8 2021
Bài 1: Cho \(a,b,c\ge0:a^2+b^2+c^2=3\). CMR: \(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\le3\)
Bài 2: Cho \(a,b,c\ge0\). CMR: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Bài 3: Cho \(a,b,c\ge0:a^2+b^2+c^2=a+b+c\). CMR: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le ab+bc+ca\)
Bài 4: Cho \(a,b,c\ge0\). CMR: \(4\left(a+b+c\right)^3\ge27\left(ab^2+bc^2+ca^2+abc\right)\)
Bài 5: Cho \(a,b,c\ge0:a+b+c=3\).CMR: \(\frac{1}{2bc^2+1}+\frac{1}{2ca^2+1}+\frac{1}{2ab^2+1}\ge1\)
C
31 tháng 10 2019
Ta có: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\)
\(\Rightarrow\frac{bcx+acy+abz}{abc}=0\)
\(\Rightarrow bcx+acy+abz=0\)
Lại có:\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=2\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\frac{bcx+acy+abz}{xyz}=4\)(bình phương hai vế)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}=4\)(Vì \(bcx+acy+abz=0\))
BA
31 tháng 10 2019
Từ (1) \(\Rightarrow bcx+acy+abz=0\)
Gọi \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=2\left(2\right)\)
Từ (2) \(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{ab}{xy}+\frac{ac}{xz}+\frac{bc}{yz}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=4-\left(\frac{abz+acy+bcx}{xyz}\right)\)
\(=4\)
\(b,\frac{ab}{a^2+b^2+c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)
Từ \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
Tương tự \(b^2+c^2-a^2=-2bc\)và \(c^2+a^2-b^2=-2ac\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{-2ab}+\frac{bc}{-2bc}+\frac{ca}{-2ca}=\frac{1}{-2}+\frac{1}{-2}+\frac{1}{-2}\)
\(=-\frac{3}{2}\)
KT
13 tháng 2 2018
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2=c^2\\\left(b+c\right)^2=a^2\\\left(c+a\right)^2=b^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2-c^2=a^2+b^2-\left(a+b\right)^2=-2ab\\b^2+c^2-a^2=b^2+c^2-\left(b+c\right)^2=-2bc\\c^2+a^2-b^2=c^2+a^2-\left(c+a\right)^2=-2ca\end{cases}}\)
Vậy \(B=\frac{ab}{-2ab}+\frac{bc}{-2bc}+\frac{ca}{-2ca}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)
P/s: you tham khảo nha, mk ko biết đúng hay sai
13 tháng 2 2018
Ta có: \(\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}\)
\(=\frac{ab}{a^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\frac{ab}{a^2-a\left(b-c\right)}\)
\(=\frac{ab}{a\left(a-b+c\right)}\)
\(=\frac{ab}{-2ab}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
Tương tự mà tính
27 tháng 6 2019
Do \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow c=-a-b\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+2ab+b^2\)
Tương tự,ta có:
\(a^2=b^2+2bc+c^2\)
\(b^2=a^2+2ac+c^2\)
Thay vào bài toán,ta được:
\(P=\frac{c^2}{a^2+b^2-\left(a^2+2ab+b^2\right)}+\frac{a^2}{b^2+c^2-\left(b^2+2bc+c^2\right)}+\frac{b^2}{c^2+a^2-\left(a^2+2ac+c^2\right)}\)
\(P=\frac{-c^2}{2ab}+\frac{-a^2}{2bc}+\frac{-b^2}{2ac}\)
\(P=\frac{-\left(a^3+b^3+c^3\right)}{2abc}\)
Do \(a+b+c=0\Rightarrow-a=b+c\)
\(\Rightarrow-a^3=b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow-a^3=b^3+c^3-3abc\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Khi đó,ta có:
\(P=\frac{-\left(3abc\right)}{2abc}=-\frac{3}{2}\)
Ta có : a+b+c=0\(\Rightarrow a^2=\left(b+c\right)^2\Rightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)
Tương tự, ta có:
∑\(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}=\)∑\(\frac{a^2}{2bc}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)