chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>2\)
với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 12 2015
Có:\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)vì a,b,c>0
tương tự \(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng từ vế lại \(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
5 tháng 3 2019
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Tương tự cộng lại...
19 tháng 10 2016
Đặt: \(b+c-a=x;c+a-y=y;a+b-c=z\)
=> \(2a=y+z;2b=x+z;2c=x+y\)
T có:
\(\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\)
Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương ta có:
\(\frac{y}{z}+\frac{x}{y}\ge2;\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2;\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\ge2\)
=>\(2\left(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\right)\ge6\)
=>\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
19 tháng 10 2016
Đặt \(\begin{cases}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y+z=2a\Rightarrow a=\frac{y+z}{2}\\x+z=2b\Rightarrow b=\frac{x+z}{2}\\x+y=2c\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}\end{cases}\)
Vì \(x;y;z>0\) vì \(a,b,c\) là các cạnh của tam giác nên \(\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}\)
Vế trái cho ta :
\(\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+2.\frac{z}{x}.\frac{x}{z}+2.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}.6=3\)
Vậy \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\). ( ĐPCM )
3 tháng 7 2017
3/ \(x^5+y^5\ge x^4y+xy^4\)
\(\Leftrightarrow x^4\left(x-y\right)-y^4\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^4-y^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\) (đúng)
OM
3 tháng 7 2017
bài 1
theo bài ra ta có
a + b + c = 0 => c = -[a+b] [ 1 ]
Thay (1) vao a^3+b^3+c^3 ta có:
a^3+b^3+[-(a+b)]^3=3ab[-(a+b)]
<=>a^3+b^3-(a+b)=-3ab(a+b)
<=> a3+ b3- a3 -3a2b- 3ab2- b3= -3a2b- 3ab2
<=> 0= 0
vậy ta có đpcm.
31 tháng 7 2018
a3 + b3 + c3 = ( a + b + c). +( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
= 0 . (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ) + 3abc
= 3abc ( đpcm)
10 tháng 11 2019
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{abc^2}{ab}}=2c\)
Tương tự và cộng lại có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay tam giác đều
5 tháng 6 2016
Ta có :
( b + c - a ) ( b + a - c ) = b2 - ( c - a )2 < b2
( c + a - b ) ( c + b - a ) = c2 - ( a - b ) 2 < c2
( a + b - c ) ( a + c - b ) = a2 - ( b - c )2 < a2
Nhân từng vế ba bất đẳng thức trên ta được
[ ( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c ) ]2 < [ abc ]2
Các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều dương nên
( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c ) < abc
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b =c
17 tháng 8 2016
Ta có : a+b > c , b+c > a , c+a > b
Xét : \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+a}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+b+a+b}=\frac{1}{a+b}\)
Tương tự , ta cũng có : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c};\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}>\frac{1}{b+c}\)
Vậy ta có đpcm
Chú ý : a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác chứ không phải a+b,b+c,c+a nhé :)
bạn tham khảo ở câu hỏi tương tự nhé
tick mình đi