Cho x>0,y>0,\(x+y\ge3\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
G
2 tháng 7 2019
\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)
\(P=\left(\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y\right)+\left(\frac{3}{2}x+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{8}{y}+\frac{y}{2}\right)\)
\(P=\frac{3}{2}\left(x+y\right)+\left(\frac{3}{2}x+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{8}{y}+\frac{y}{2}\right)\)
\(\ge\frac{3}{2}.6+2\sqrt{\frac{3x}{2}.\frac{6}{x}}+2\sqrt{\frac{8}{y}.\frac{y}{2}}=9+6+4=19\)
\("="\Leftrightarrow x=2;y=4\)
12 tháng 3 2021
\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)
\(2P=6x+4y+\frac{12}{x}+\frac{16}{y}\)
\(=\left(3x+\frac{12}{x}\right)+\left(y+\frac{16}{y}\right)+3\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{3x\cdot\frac{12}{x}}+2\sqrt{y\cdot\frac{16}{y}}+3\cdot6=12+8+18=38\)( bđt AM-GM và giả thiết x + y ≥ 6 )
=> P ≥ 19
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}3x=\frac{12}{x}\\y=\frac{16}{y}\\x+y=6\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)
Vậy MinP = 19
12 tháng 3 2021
Ta có: \(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}=\left(\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y\right)+\left(\frac{3}{2}x+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\right)\)
Vì \(\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}\left(x+y\right)\ge\frac{3}{2}.6=9\)
\(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{2}.\frac{6}{x}}=6;\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{2}.\frac{8}{y}}=4\)
\(\Rightarrow P\ge9+6+4=19\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=6\\\frac{3x}{2}=\frac{6}{x}\\\frac{y}{2}=\frac{8}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)
Vậy GTNN của P là 19
PG
26 tháng 2 2018
2. Có hai cách nhé
Cách 1: P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x² - 24x + 3y² + 18y + 36
--> P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x(x - 2) + 3y(y + 6) + 36
--> P = [ 12x(x - 2) + 36 ] + xy(x - 2)(y + 6) + 3y(y + 6)
--> P = 12[x(x - 2) + 3] + y(y + 6).[x(x - 2) + 3]
--> P = [x(x - 2) + 3].[y(y + 6) + 12]
--> P = (x² - 2x + 3)(y² + 6y + 12)
--> P = [(x - 1)² + 2].[(y + 3)² + 3] ≥ 2.3 = 6 > 0
Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 1 ; y = -3
Vậy MinP = 6 ⇔ x = 1 ; y = -3
Cách 2: P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x² - 24x + 3y² + 18y + 36
--> P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x(x - 2) + 3(y + 3)² + 9
--> P = x(x - 2)[y(y - 6) + 12] + 3(y + 3)² +9
--> P = x(x - 2)[(y + 3)² + 3] + 3(y + 3)² + 9
--> P = x(x - 2)(y + 3)² + 3x(x - 2) + 3(y + 3)² + 9
--> P = (y + 3)²[x(x - 2) + 3] + 3x(x - 2) + 9
--> P = (y + 3)²[(x - 1)² + 2] + 3x² - 6x + 9
--> P = (y + 3)²(x - 1)² + 2(y + 3)² + 3(x - 1)² + 6 ≥ 6
Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 1 ; y = -3
Vậy MinP = 6 ⇔ x = 1 ; y = -3
P/S: MinP = 6 > 0 ∀ x, y ∈ R --> P luôn dương ∀ x, y ∈ R
Mình nghĩ phần CM: "P luôn dương với mọi x,y thuộc R." là hơi thừa :-)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
26 tháng 2 2018
Ta có : \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\) (*)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2}+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\) (**)
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow t\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
Vậy thì \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2=t^2-3t+2=\left(t-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)
\(\ge\left(2-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}=0\)
Vậy bất đẳng thức (**) đúng hay bất đẳng thức (*) đúng
NT
1
27 tháng 11 2021
\(\Leftrightarrow2P=6x+4y+\dfrac{12}{x}+\dfrac{16}{y}\\ \Leftrightarrow2P=\left(\dfrac{12}{x}+3x\right)+\left(\dfrac{16}{y}+y\right)+3\left(x+y\right)\\ \Leftrightarrow2P\ge2\sqrt{36}+2\sqrt{16}+3\cdot6=12+8+18=38\\ \Leftrightarrow P\ge19\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2=12\\y^2=16\\x+y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.\)
E
22 tháng 5 2017
áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y+2z}{9}+\frac{1}{3}>=3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y+2z}.\frac{\left(y+2z\right)}{9}.\frac{1}{3}}=x\)
\(=>\frac{x^3}{y+2z}>=x-\frac{y+2z}{9}-\frac{1}{3}\)
Tương tự \(\frac{y^3}{z+2x}>=y-\frac{z+2x}{9}-\frac{1}{3}\),\(\frac{z^3}{x+2y}>=z-\frac{x+2y}{9}-\frac{1}{3}\)
\(=>P>=\left(x+y+z\right)-\frac{3\left(x+y+z\right)}{9}-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\)
Mà x+y+z=3
\(=>P>=3-1-1=1\)
=>Min P=1
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
SN
Bài: Cho x,y >0, x+y>=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 3x + 4y +\(\frac{5}{x}+\frac{9}{y}\)
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
5 tháng 9 2021
\(A=3x+4y+\frac{5}{x}+\frac{9}{y}=\frac{5}{4}x+\frac{5}{x}+\frac{9}{4}y+\frac{9}{y}+\frac{7}{4}x+\frac{7}{4}y\)
\(\ge2\sqrt{\frac{5}{4}x.\frac{5}{x}}+2\sqrt{\frac{9}{4}y.\frac{9}{y}}+\frac{7}{4}.4\)
\(=5+9+7=21\)
Dấu \(=\)khi \(x=y=2\).
19 tháng 7 2020
\(T=21\left(x+\frac{1}{y}\right)+3\left(y+\frac{1}{x}\right)\)
\(=3\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{9}\right)+21\left(\frac{1}{y}+\frac{y}{9}\right)+\frac{62x}{9}+\frac{2y}{3}\)
\(\ge6\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{9}}+42\sqrt{\frac{1}{y}\cdot\frac{y}{9}}+\frac{62\cdot3}{9}+\frac{2\cdot3}{9}\)
\(=\frac{112}{3}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=3;y=3