Question

[Ayu Tsumika]

Bài 1 

Tính A=\(\left(\frac{1}{4}-1\right)\cdot\left(\frac{1}{9}-1\right)\cdot\left(\frac{1}{16}-1\right)\cdot...\cdot\left(\frac{1}{100}-1\right)\cdot\left(\frac{1}{121}-1\right)\)

Bài 2

Cho A = \(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{37\cdot38}\)

B= \(\frac{1}{20\cdot38}+\frac{1}{21\cdot37}+...+\frac{1}{38\cdot20}\)

CMR \(\frac{A}{B}\)là 1 số nguyên

Bài 3

a) Cho S = 17+17^2+17^3+...+17^18 . Chứng minh rằng S chia hết cho 307

b) Cho đa thức f(x)=\(a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)

Biết rằng : f(x)=f(-1);f(2)=f(-2)

Chứng minh : f(x)=f(-x) với mọi x

Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa mãn a+b+c+d=1. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ 4 số này. S có thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Bài 4 

Cho tam giác ABC (ab>ac), m là trung điểm của bc. Đường thẳng đi qua m vuông góc với tia phân giác của góc a tại h cắt cạnh ab, ac lần lượt tại e và f. Chứng minh

a) 2BME=ACB-B( Đây là các góc)

b) \(\frac{FE^2}{4}+AH^2=AE^2\)

c) BE=CF

Answer 1

[Nguyễn Phương Uyên]

\(A=\left(\frac{1}{4}-1\right)\left(\frac{1}{9}-1\right)\left(\frac{1}{16}-1\right)...\left(\frac{1}{121}-1\right)\)

\(-A=\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right)...\left(1-\frac{1}{121}\right)\)

\(-A=\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{15}{16}\cdot...\cdot\frac{120}{121}\)

\(-A=\frac{1\cdot3\cdot2\cdot4\cdot3\cdot5\cdot...\cdot10\cdot12}{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot4\cdot4\cdot...\cdot11\cdot11}\)

\(-A=\frac{\left(1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot10\right)\left(3\cdot4\cdot5\cdot...\cdot12\right)}{\left(2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot11\right)\left(2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot11\right)}\)

\(-A=\frac{1\cdot12}{11\cdot2}=\frac{6}{11}\)

\(A=-\frac{6}{11}\)

\(B=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{37\cdot38}\)

\(B=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{37}-\frac{1}{38}\)

\(B=1-\frac{1}{38}=\frac{37}{38}\)