Cho 4 số a , b , c, d thỏa mãn điều kiện \(b^2=ac\) ; \(c^2=bd\) .Chứng minh :
\(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
0
TT
0
7 tháng 1 2021
\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{d+a}=2\)
\(1-\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{b}{b+c}+1-\dfrac{c}{c+d}-\dfrac{d}{d+a}=0\)
\(\dfrac{b}{a+b}-\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{d}{c+d}-\dfrac{d}{d+a}=0\)
\(\dfrac{b\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{d\left(a-c\right)}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)
<=>b(c+d)(d+a)+d(a+b)(b+c)=0 (vì c≠a)
<=>abc-acd+bd2-b2d=0
<=> (b-d)(ac-bd)=0 <=> ac - bd =0 (vì b≠d) <=> ac = bd
Vậy abcd =(ac)(bd)=(ac)2
5 tháng 12 2015
\(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}vàc^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bắng nhau
Do đó :\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)1
Vì :\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{c}{b}=\frac{b}{a}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{c}{b}=\frac{b}{c}=\frac{a}{d}\)2
Từ 1 và 2 => Ta có điều phải chứng minh
TICK MÌNH NHA !
NT
2
TT
23 tháng 9 2020
Áp dụng liên tiếp BĐT quen thuộc \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\) ta được :
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\) \(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{\left(c+d\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2+\left(c+d\right)^2}{2}\ge\frac{\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2}}{2}=\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}=\frac{2^2}{4}=1\)
Do đó : \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
PN
24 tháng 9 2020
Theo Svacxo ta có : \(LHS\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}=\frac{2^2}{4}=1\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
Ta có: \(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) (1)
\(c^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\left(\frac{a}{b}\right)^3=\left(\frac{b}{c}\right)^3=\left(\frac{c}{d}\right)^3=\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\) (3)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot b\cdot c}{b\cdot c\cdot d}=\frac{a}{d}\) (4)
Từ (3) và (4) => \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)(Đpcm)
Chúc bạn học tốt!
vì \(b^2=ac;c^2=bd\) suy ra \(b^2c^2=abcd\)=>\(bc=ad\)
Ta có \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a^3+abc+bcd}{d^3+abc+bcd}=\frac{a^3+bc\left(a+d\right)}{d^3+bc\left(a+d\right)}=\frac{a^3+ad\left(a+d\right)}{b^3+ad\left(a+d\right)}=\frac{a^3+a^2d+d^2a}{d^3+a^2d+d^2a}=\frac{ }{ }\)\(=\frac{a\left(d^2+a^2+ad\right)}{d\left(d^2+a^2+ad\right)}=\frac{a}{d}\)(ĐPCM)