Cho a,b là các số tự nhiên khác 0và \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\) có giá trị là 1 số tự nhiên.Gọi d là ước chung của a và b.Chứng minh a+b\(\ge\)d2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 5 2020
Ta có:
\(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^2+a+b^2+b}{ab}\)
Vì \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\) là số tự nhiên
=> \(\frac{a^2+a+b^2+b}{ab}\) là số tự nhiên
=> \(a^2+a+b^2+b⋮ab\)
Lại có: d = ( a; b ) => \(\hept{\begin{cases}a⋮d\\b⋮d\end{cases}}\Rightarrow ab⋮d^2;a^2⋮d^2;b^2⋮d^2\)
=> \(a^2+a+b^2+b⋮d^2\) và \(a^2+b^2⋮d^2\)
=> \(a+b⋮d^2\)
=> \(a+b\ge d^2\)
4 tháng 9 2019
Câu hỏi của Nguyễn Tuấn Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
27 tháng 3 2018
- Ta có : \(\frac{a+1}{b}\)+ \(\frac{b+1}{a}\)= \(\frac{a.\left(a-1\right)+b\left(b+1\right)}{ab}\)=\(\frac{a^2+a+b^2+b}{a.b}\)= \(\frac{a^2+b^2+a+b}{a.b}\)có giá trị là STN khi a^2 + b^2 +a+b.a+b
- UCLN (a,b) = d
- => a chia hết cho 1
- b chia hết cho 1 =>a chia hết cho d
- b chia hết cho d
- b^2 chia hết cho d^2
- a^2 chia hết cho d^2
- => a^2 + b^2 + a +b{ d^2 => a +b chia hết cho d^2
- a+b > hoặc khác d^2
4 tháng 9 2019
Câu hỏi của Nguyễn Tuấn Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
4 tháng 9 2019
a, b là số tự nhiên khác 0
suy ra \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}>0\)
=> \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\)là số tự nhiên.
Tiếp theo em tham khảo bài làm dưới link này nhé.
Câu hỏi của Nguyễn Tuấn Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
17 tháng 8 2016
Đặt \(A=\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\left(\frac{a+1}{b}+1\right)+\left(\frac{b+1}{a}+1\right)-2=\left(a+b+1\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-2\)
Vì A có giá trị là một số tự nhiên nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) phải có giá trị là số tự nhiên hay
\(\frac{a+b}{ab}\) là một số tự nhiên \(\Rightarrow\left(a+b\right)⋮ab\)
Vì d là ƯCLN(a,b) nên \(a=dm,b=dn\) \(\Rightarrow\begin{cases}a+b=d\left(m+n\right)\\ab=d^2mn\end{cases}\) (m,n thuộc N)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{d\left(m+n\right)}{d^2mn}=\frac{m+n}{dmn}\)
=> (m+n) chia hết cho dmn \(\Rightarrow m+n\ge d\)
\(\Rightarrow d\left(m+n\right)\ge d^2\) hay \(a+b\ge d^2\)
15 tháng 11 2023
Đặt
X
=
a
+
1
b
+
b
+
1
a
=
a
2
+
b
2
+
a
+
b
a
b
Vì X là số tự nhiên =>
a
2
+
b
2
+
a
+
b
⋮
a
b
Vì d=UCLN(a,b) =>
a
⋮
d
và
b
⋮
d
=>
a
b
⋮
d
2
=>
a
2
+
b
2
+
a
+
b
⋮
d
2
Lại vì
a
⋮
d
và
b
⋮
d
=>
a
2
⋮
d
2
và
b
2
⋮
d
2
=>
a
2
+
b
2
⋮
d
2
=>
a
+
b
⋮
d
2
=>
a
+
b
≥
d
2
(đpcm)
Ta có \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a\left(a+1\right)}{ab}+\frac{b\left(b+1\right)}{ab}=\frac{a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)}{ab}=\frac{a^2+a+b^2+b}{ab}\) là số tự nhiên nên
\(a^2+b^2+a+b⋮ab\)
Vì \(UCLN\left(a;b\right)=d\Rightarrow a⋮d;b⋮d\)
\(\Rightarrow ab⋮d^2;a^2⋮d^2;b^2⋮d^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)⋮d^2\)
Do đó \(a^2+b^2+a+b⋮d^2\)
\(\left(a^2+b^2\right)⋮d^2\)
\(\Rightarrow a+b⋮d^2\)
\(\Rightarrow a+b\ge d^2\)
Học tốt