Cho x,y,z >0 biết x+y+z=1. Tìm GTNN của P= x/x+1 +y/y+1 + z/z+1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TM
1
19 tháng 10 2019
\(A=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
A=1+y/x+z/x+x/y+1+z/y+x/z+y/z+1
A=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)
với x,y,z > 0 Áp dụng BDT cauchy ta có
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\\\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{x}}=2\\\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2\end{cases}}\)
=> A\(\ge\)3+2+2+2=9
( Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z )
Vậy GTNN của A là 9 <=> x=y=z
H
1
11 tháng 12 2016
Ta có:
\(\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)
\(\frac{y}{y+1}=1-\frac{y}{y+1}\)
\(\frac{z}{z+4}=1-\frac{4}{z+4}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}\right)\)
\(\le\left[3-\left(\frac{4}{x+y+2}+\frac{4}{z+4}\right)\right]\le\left(3-\frac{16}{x+y+z+6}\right)=3-\frac{16}{6}=\frac{1}{3}\)
PV
2
1 tháng 2 2018
đề bài như này chớ
\(\frac{x}{1+y^2}\)\(+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\)
\(\frac{x}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\)
ttu vt\(\ge x+y+z-\left(\frac{xy+yz+xz}{2}\right)=3-\frac{\left(xy+xz+yz\right)}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
dau = xay ra khi x=y=z=1
1 tháng 2 2018
Ta có :
\(\frac{x}{1}+y^2+\frac{y}{1}+z^2+\frac{z}{1}+x^2\)
\(\Rightarrow\)\(\left(\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3\)
\(\Rightarrow\)\(3+\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3\)
\(\Rightarrow\)\(x^2+y^2+z^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=0\)
Vậy gái trị nhỏ nhất của \(P=\frac{x}{1}+y^2+\frac{y}{1}+z^2+\frac{z}{1}+x^2=0\)
HL
0
VP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
Tương tự:
$y^2+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
$z^2+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
Cộng theo vế:
$A\geq 9\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ (đây chính là $A_{\min}$)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
N
0
TV
2
30 tháng 8 2021
thêm x2 + y2 + z2 = 1 nha
HT nha vinh
GF
0
NT
0