Question

[lê thị hoài]

giải hệ phương trình

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y^2+4=2\left(\sqrt{y}-\sqrt{x+2}-2x\right)\\4\sqrt{x+2}+\sqrt{28-3y}=y^2-4x+4\end{matrix}\right.\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

PT $(1)$:

\(\Leftrightarrow (x^2+4x+4)-y^2=2(\sqrt{y}-\sqrt{x+2})\)

\(\Leftrightarrow (x+2)^2-y^2=2(\sqrt{y}-\sqrt{x+2})(*)\)

Nếu $\sqrt{y}+\sqrt{x+2}=0\Rightarrow y=x+2=0$

$\Rightarrow y=0; x=-2$. Thay vào PT $(2)$ thấy không thỏa mãn (loại)

Nếu $\sqrt{y}+\sqrt{x+2}>0$:

$(*)\Leftrightarrow (x+2-y)(x+2+y)=2.\frac{y-(x+2)}{\sqrt{y}+\sqrt{x+2}}$

$\Leftrightarrow (x+2-y)\left[x+2+y+\frac{2}{\sqrt{y}+\sqrt{x+2}}\right]=0$

Dễ thấy với mọi $\sqrt{y}+\sqrt{x+2}$ thì biểu thức trong ngoặc vuông luôn lớn hơn $0$

Do đó $x+2-y=0\Rightarrow x+2=y$

Thay vào PT $(2)$:

$4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8$

\(\Leftrightarrow 4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8\)

\(\Leftrightarrow 4(\sqrt{x+2}-2)+(\sqrt{22-3x}-4)=x^2-4\)

\(\Leftrightarrow 4.\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{3(x-2)}{\sqrt{22-3x}+4}=(x-2)(x+2)\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left[\frac{4}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{3}{\sqrt{22-3x}+4}-(x+2)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left[\frac{4}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{4}{3}-(\frac{3}{\sqrt{22-3x}+4}-\frac{1}{3})-(x+1)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left[\frac{-4(x+1)}{3\sqrt{x+2}+2)(\sqrt{x+2}+1)}-\frac{3(x+1)}{3(\sqrt{22-3x}+4)(5+\sqrt{22-3x})}-(x+1)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)(x+1)\left[\frac{-4}{.....}-\frac{3}{.....}-1\right]=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm nên $(x-2)(x+1)=0\Rightarrow x=2$ hoặc $x=-1$

Với $x=2\rightarrow y=x+2=4$

Với $x=-1\rightarrow y=x+2=1$

Answer 2

[lê thị hoài]

Akai Haruma giúp em