cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c\ne0\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
CMR:\(\frac{1}{a^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}\)=\(\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 2 2020
Mới nghĩ ra 3 câu:
a/ \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^2\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1+c\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab\left(1+c\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\le\sqrt{2\sum\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\frac{ab}{1+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\)
c/ \(ab+bc+ca=2abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow x+y+z=2\)
\(VT=\sum\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\) \(\forall x\in\left(0;2\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^3\ge\left(2x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4\ge0\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2\ge0\)
d/ Ta có đánh giá: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
11 tháng 2 2020
Akai Haruma, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Băng Băng 2k6, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm
Mn giúp e vs ạ! Thanks!
19 tháng 1 2020
cho {a,b,c>0a+b+c=abc{a,b,c>0a+b+c=abc\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=abc\end{matrix}\right..CMR: ba2+cb2+ac2+3≥(1a+1b+1c)2+√3ba2+cb2+ac2+3≥(1a+1b+1c)2+3\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}+3\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\sqrt{3}
7 tháng 1 2020
cho {a,b,c>0a+b+c=abc{a,b,c>0a+b+c=abc\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=abc\end{matrix}\right..CMR: ba2+cb2+ac2+3≥(1a+1b+1c)2+√3ba2+cb2+ac2+3≥(1a+1b+1c)2+3\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}+3\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\sqrt{3}
25 tháng 4 2020
\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 4 2020
a/ Một cách đơn giản hơn:
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
\(P=\frac{x-\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2}}{y^2}+\frac{y-\frac{1}{2}+z-\frac{1}{2}}{z^2}+\frac{z-\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}}{x^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\ge\frac{2}{xy}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{yz}\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{zx}\left(z-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\)
\(P\ge\sqrt{3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}-1=\sqrt{3}-1\)
\(P_{min}=\sqrt{3}-1\) khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
26 tháng 4 2020
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
T
25 tháng 4 2020
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
S
13 tháng 8 2019
\(a+b+c=3abc\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=3\left(chia:abc\right);\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=-5\)
13 tháng 8 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot\frac{a+b+c}{abc}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot1=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)
Vậy....
T
11 tháng 12 2019
3 g) \(xyz=x+y+z+2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\Sigma_{cyc}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\) .Đặt \(\frac{1}{x+1}=a;\frac{1}{y+1}=b;\frac{1}{z+1}=c\Rightarrow x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a};y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c}\) vì a + b + c = 1.
Khi đó \(P=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{2a^2+\left(b+c\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{9}+\frac{4}{9}}.\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\left(\sqrt{\frac{2}{9}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)^2\right]\left[2a^2+\left(b+c\right)^2\right]}}\)
\(\le\sqrt{\frac{2}{3}}\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}c\right]^2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=2\)
T
11 tháng 12 2019
3c) Nhìn quen quen, chả biết có lời giải ở đâu hay chưa nhưng vẫn làm:D (Em ko quan tâm nha!)
\(P=3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{xy^2+xy^2+1}\ge3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{3\sqrt[3]{\left(xy^2\right)^2}}=3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(xy^2\right)}\)
\(\ge3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\frac{x+y+y}{3}=3-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)=3-2=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Với \(a,b,c\ne0\); \(a+b+c\ne0\) , ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+c\left(ab+bc+ca\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+abc+bc^2+c^2a=abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+bc^2+c^2a=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)
Không mất tính tổng quát, ta lấy \(a=-b\), ta có:
\(\frac{1}{a^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}\)
\(=\frac{-1}{b^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\) (1)
Ta có:\(\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}\)
\(=\frac{1}{-b^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\) (2)
Từ (1), (2), suy ra \(\frac{1}{a^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}\)
Cái chỗ không mất tính tổng quát đấy, là do a, b, c bình đẳng nhau.