Question

[Phương Nguyễn Mai]

Cho tam giác ABC có AB=AC.Trên cạnh AB lấy điểm E,trên cạnh AC lấy điểm sao cho AE=AD.Gọi I là giao điểm của BD và CE ,F là trung điểm của BC.

Chứng minh:

a)BD=CE

b) \(\Delta\)CEB=\(\Delta\)BDC

c) \(\Delta\)BIE=\(\Delta\)CID

d) Ba điểm A,I,F thẳng hàng

Answer 1

[Vũ Minh Tuấn]

a) Xét 2 \(\Delta\) \(ABD\) và \(ACE\) có:

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(\widehat{A}\) chung

\(AD=AE\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(c-g-c\right)\)

=> \(BD=CE\) (2 cạnh tương ứng).

b) Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AE+BE=AB\\AD+CD=AC\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\AE=AD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(BE=CD.\)

Xét 2 \(\Delta\) \(CEB\) và \(BDC\) có:

\(BE=DC\left(cmt\right)\)

\(CE=BD\left(cmt\right)\)

Cạnh BC chung

=> \(\Delta CEB=\Delta BDC\left(c-c-c\right).\)

c) Vì \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(cmt\right)\)

=> \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (2 góc tương ứng).

Hay \(\widehat{EBI}=\widehat{DCI}.\)

Vì \(\Delta CEB=\Delta BDC\left(cmt\right)\)

=> \(\widehat{BEC}=\widehat{CDB}\) (2 góc tương ứng).

Hay \(\widehat{BEI}=\widehat{CDI}.\)

Xét 2 \(\Delta\) \(BIE\) và \(CID\) có:

\(\widehat{EBI}=\widehat{DCI}\left(cmt\right)\)

\(BE=CD\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BEI}=\widehat{CDI}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BIE=\Delta CID\left(g-c-g\right).\)

d) Theo câu c) ta có \(\Delta BIE=\Delta CID.\)

=> \(BI=CI\) (2 cạnh tương ứng).

=> I thuộc đường trung trực của \(BC\) (1).

Lại có: \(AB=AC\left(gt\right)\)

=> A thuộc đường trung trực của \(BC\) (2).

Từ (1) và (2) => \(IA\) là đường trung trực của \(BC.\)

Mà F là trung điểm của \(BC\left(gt\right)\)

=> \(IA\) đi qua trung điểm F của \(BC.\)

=> 3 điểm \(A,I,F\) thẳng hàng (đpcm).

Chúc bạn học tốt!