\(\left\{{}\begin{matrix}3y=\frac{y^2+2}{x^2}\\3x=\frac{x^2+2}{y^2}\end{matrix}\right.\)
giải hệ phương trình
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Lấy PT $(1)$ trừ PT $(2)$ ta có:
\(x^2-y^2=3y-3x\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(x+y)+3(x-y)=0\Leftrightarrow (x-y)(x+y+3)=0\)
$\Rightarrow x-y=0$ hoặc $x+y+3=0$
Nếu $x-y=0\Leftrightarrow x=y$. Thay vào PT $(1)$:
\(x^2=3x-2\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\Leftrightarrow (x-1)(x-2)=0\)
$\Rightarrow x=1$ hoặc $x=2$
Tương ứng ta thu được $y=1$ hoặc $y=2$
Nếu $x+y+3=0\Leftrightarrow y=-(x+3)$. Thay vào PT $(1)$:
\(x^2=-3(x+3)-2\Leftrightarrow x^2=-3x-11\Leftrightarrow x^2+3x+11=0\)
\(\Leftrightarrow (x+\frac{3}{2})^2=\frac{-35}{4}< 0\) (vô lý)
Vậy..........
Bài 2:
Lấy PT(1) trừ PT(2) ta có:
\(2x-2y+\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{3}{x}-\frac{3}{y}\)
\(\Leftrightarrow 2(x-y)+(\frac{4}{y}-\frac{4}{x})=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)+\frac{2(x-y)}{xy}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y).\frac{2+xy}{xy}=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=y\\ xy=-2\end{matrix}\right.\)
Nếu $x=y$. Thay vào PT (1) có:
\(2x+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}\Leftrightarrow 2x-\frac{2}{x}=0\Leftrightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1\Rightarrow y=\pm 1\) (tương ứng)
Nếu $xy=-2\Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{-x}{2}$
Thay vào PT(1): $2x-\frac{x}{2}=\frac{3}{x}$
$\Leftrightarrow x^2=2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$
$\Rightarrow y=\mp \sqrt{2}$
Vậy........
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\frac{x+y}{xy}=2\\
(x+y)^2-2xy=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+y=2xy\\
(x+y)^2-2xy=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (2xy)^2-2xy=2\)
\(\Leftrightarrow 2(xy)^2-xy-1=0\)
\(\Leftrightarrow 2xy(xy-1)+(xy-1)=0\Leftrightarrow (xy-1)(2xy+1)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} xy=1\\ xy=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)
Nếu $xy=1\Rightarrow x+y=2xy=2$
$\Rightarrow y=2-x\Rightarrow xy=x(2-x)=1$
$\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=\frac{1}{x}=1$
Nếu $xy=\frac{-1}{2}\Rightarrow x+y=2xy=-1$
$\Rightarrow y=-1-x\Rightarrow xy=x(-1-x)=\frac{-1}{2}$
$\Leftrightarrow x^2+x-\frac{1}{2}=0\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow y=\frac{-1}{2x}=\frac{-1\mp \sqrt{3}}{2}$
Vậy $(x,y)=(1,1); (\frac{-1+\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}}{2}); (\frac{-1-\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+\sqrt{3}}{2})$
ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2y=y^2+2\\3xy^2=x^2+2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y^2+2}{x^2+2}\)
\(\Rightarrow x^3+2x=y^3+2y\Rightarrow x^3-y^3+2\left(x-y\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+2\right)=0\)
\(\Rightarrow x=y\)
Thay vào pt đầu:
\(3x^3=x^2+2\Leftrightarrow3x^3-x^2-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3x^2+2x+2\right)=0\)
\(\Rightarrow x=y=1\)