Cho hình thoi ABCD . M , N , P , Q là tđ của AB , BC CD , AD .
1) Cm r : MN và PQ = 1/2 AC
2 ) Cmr : MN vuông góc MQ
3 ) Cmr : MNPQ là hcn
4 ) Cm : tứ giác MBPD là hbh , suy ra M , O , P thẳng hàng
5 ) S ABCD = 12 cm . Tính S MNPQ
( MÌNH LÀM XONG PHẦN 1 , 2 RỒI . GIÚP MÌNH PHẦN 3 , 4 , 5 NHÉ
Hình vẽ:
(Mình sẽ làm hết, trường hợp cho bạn nào chưa biết làm :P)
1) Nối A với C.
Xét ΔABC có: \(\hept{\begin{cases}AM=BM\left(gt\right)\\BN=CN\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow}\)MN là đường trung tuyến \(\Rightarrow MN//AC\)và \(MN=\frac{1}{2}AC\left(1\right)\)
Xét ΔDAC có:\(\hept{\begin{cases}DQ=AQ\left(gt\right)\\DP=PC\left(gt\right)\end{cases}}\Rightarrow\)PQ là đưởng trung tuyến \(\Rightarrow PQ//AC\) và\(PQ=\frac{1}{2}AC\left(2\right)\)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow MN=PQ=\frac{1}{2}AC\left(đpcm\right)\)
2) Nối B với D, AC cắt BD tại I
do ABCD là hình thoi nên \(AB\perp CD\Rightarrow\widehat{AIB}=90^o\)
ta có: \(\hept{\begin{cases}MN//AC\\PQ\text{}//AC\end{cases}}\Rightarrow MN//PQ//AC\)
Chứng minh tương tự như câu a) ta có: \(MQ//NP//BD\)
Cho giao điểm của AC với MQ là J; BD với MN là K
ta có: \(\hept{\begin{cases}MQ//BD\\AC\perp BD\end{cases}\Rightarrow MQ\perp AC\Rightarrow\widehat{MJI}=90^o.}\); \(\hept{\begin{cases}MN//AC\\BD\perp AC\end{cases}\Rightarrow MN\perp BD\Rightarrow\widehat{MKI}=90^o}\)
Xét tứ giác JMKI có: \(\widehat{AIB}=\widehat{MJI}=\widehat{MKI}=90^o\)=> JMKI là hình chữ nhật
=> MN vuông góc với MQ => \(\widehat{QMN}=90^o\)
3) ta có: \(MN//PQ\)mà \(MN\perp MQ\)\(\Rightarrow PQ\perp MQ\Rightarrow\widehat{PQM}=90^o\)
do \(MQ//PN\)mà \(MN\perp MQ\)\(\Rightarrow MN\perp NP\Rightarrow\widehat{PNM}=90^o\)
Xét tứ giác MNPQ có: \(\widehat{QMN}=\widehat{PQM}=\widehat{PNM}=90^o\)=> MNPQ là hình chữ nhật
4) Xét hình thoi ABCD, ta có: \(\hept{\begin{cases}AB=CD\\AB\text{}\text{}//CD\end{cases}}\)mà M, P lần lượt là trung điểm cùa AB, CD
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}MB=DP\\MB//DP\end{cases}}\)=> MBPD là hình bình hành
5) Xét ΔABD có AB = AD => ΔABD là tam giác cân => \(\widehat{ADB}=\widehat{ABD}\)
Xét tứ giác MQDB có: \(\hept{\begin{cases}MQ//DB\left(cmt\right)\\\widehat{ADB}=\widehat{ABD}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow}\)MQDB là hình thang cân
mà \(ID=IB;IJ\perp BD\)=> \(JQ=JM=\frac{1}{2}QM\)
do \(QM=\frac{1}{2}BD=IB\Rightarrow JM=\frac{1}{2}IB=\frac{1}{4}BD\Rightarrow MQ=\frac{1}{2}BD\)
Xét ΔABI có: \(\hept{\begin{cases}JM=\frac{1}{2}IB\\JM//IB\end{cases}\Rightarrow}\)JM là đường trung bình => AJ = JI
Xét hình chữ nhật JMKI, ta có: JI = MK mà AJ = JI(cmt)\(\Rightarrow MK=\frac{1}{2}AI=\frac{1}{4}AC\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AC\)
ta có: \(S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=2\cdot\frac{1}{2}AC\cdot\frac{1}{2}BD=2\cdot MQ\cdot MN=2\cdot S_{MNPQ}\)
\(\Rightarrow S_{MNPQ}=\frac{S_{ABCD}}{2}=\frac{12}{2}=6\left(cm^2\right)\)
Cách làm câu 5) có vẻ hơi dài, bạn có thể lược bớt nhé! ^^ Hình như bài có chút sai đề ở SABCD = 12cm2
Học tốt nhé ^3^