a, Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn n^2 + 12n + 8 là số chính phương
b, Cho các số nguyên dương a,b thỏa mãn b lớn hơn hoặc bằng a và b^2 + 4a + 3 là số chính phương. Chứng minh rằng a^2-5b+30 là số chính phương.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta đặt \(a^2+4b+3=k^2\)
\(\Leftrightarrow k^2-a^2\equiv3\left[4\right]\)
Mà \(k^2,a^2\equiv0,1\left[4\right]\) nên \(k^2⋮4,a^2\equiv1\left[4\right]\) \(\Rightarrow k⋮2,a\equiv1\left[2\right]\)
Đặt \(k=2l,a=2c+1>b\), ta có \(\left(2c+1\right)^2+4b+3=4l^2\)
\(\Leftrightarrow4c^2+4c+4b+4=4l^2\)
\(\Leftrightarrow c^2+c+1+b=l^2\)
Nếu \(b< c\) thì \(c^2< c^2+c+1+b< c^2+2c+1=\left(c+1\right)^2\), vô lí.
Nếu \(c< b< 2c+1\) thì
\(\left(c+1\right)^2< c^2+c+1+b< c^2+4c+4=\left(c+2\right)^2\), cũng vô lí.
Do vậy, \(c=b\) hay \(a=2b+1\)
Từ đó \(b^2+4a+12=b^2+4\left(2b+1\right)+12\) \(=b^2+8b+16\) \(=\left(b+4\right)^2\) là SCP. Suy ra đpcm.
đặt 2n + 34 = a^2
34 = a^2-n^2
34=(a-n)(a+n)
a-n thuộc ước của 34 là { 1; 2; 17; 34} và a-n . Ta có bảng sau ( mik ko bt vẽ)
=> a-n 1 2
a+n 34 17
Mà tổng và hiệu 2 số nguyên cùng tính chẵn lẻ
Vậy ....
Ta cóS = 14 +24 +34 +···+1004 không là số chính phương.
=> S= (1004+14).100:2=50 900 ko là SCP
\(\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{a^2+n^2}{b^2+n^2}-1\Rightarrow\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{b^2+n^2}\)
TH1: \(a=b\) thì \(ab=a^2\) là SCP
TH2: \(a\ne b\Rightarrow\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{b^2+n^2}\)
\(\Rightarrow b^2+n^2=b\left(a+b\right)\Rightarrow ab=n^2\) là SCP
Để chứng minh rằng √(a-b) và √(3a+3b+1) là các số chính phương, ta sẽ điều chỉnh phương trình ban đầu để tìm mối liên hệ giữa các biểu thức này. Phương trình ban đầu: 2^(2+a) = 3^(2+b) Ta có thể viết lại phương trình theo dạng: (2^2)^((1/2)+a/2) = (3^2)^((1/2)+b/2) Simplifying the exponents, we get: 4^(1/2)*4^(a/2) = 9^(1/2)*9^(b/2) Taking square roots of both sides, we have: √4*√(4^a) = √9*√(9^b) Simplifying further, we obtain: 22*(√(4^a)) = 32*(√(9^b)) Since (√x)^y is equal to x^(y/), we can rewrite the equation as follows: 22*(4^a)/ = 32*(9^b)/ Now let's examine the expressions inside the square roots: √(a-b) can be written as (√((22*(4^a))/ - (32*(9^b))/)) Similarly, √(3*a + 3*b + ) can be written as (√((22*(4^a))/ + (32*(9^b))/)) We can see that both expressions are in the form of a difference and sum of two squares. Therefore, it follows that both √(a-b) and √(3*a + 3*b + ) are perfect squares.
a/ \(n^2+12n+8=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(n+6\right)^2-28=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(n+6\right)^2-k^2=28\)
\(\Leftrightarrow\left(n-k+6\right)\left(n+k+6\right)=28\)
Do \(n-k+6+n+k+6=2n+12\) chẵn nên ta chỉ cần xét các cặp ước chẵn của 28
\(\Rightarrow\left(n-k+6\right)\left(n+k+6\right)=2.14\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-k+6=2\\n+k+6=14\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n=2\)
b/ Do \(b\ge a\Rightarrow b^2+4a+3\le b^2+4b+3< b^2+4b+4=\left(b+2\right)^2\)
Mặt khác \(b^2+4a+3>b^2\)
\(\Rightarrow b^2< b^2+4a+3< \left(b+2\right)^2\)
\(\Rightarrow b^2+4a+3=\left(b+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow b=2a+1\)
\(\Rightarrow a^2-5b+30=a^2-5\left(2a+1\right)+30=a^2-10a+25=\left(a-5\right)^2\)