Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hình bạn tự vẽ rồi nhâ
từ câu a) ta thấy AB là tiếp tuyến của đường tròn (J) đường kính CD
gọi P,Q lần lượt là giao của AD và (O),BC và (J)
có góc APB=CQD=90 độ (góc nt chắn nx đg tròn)
=>góc DPB= góc BQD=90 độ
=>tugiac BQPD là tgnt =>góc PDB= góc PQI(1)
Vì AC//BD nên góc PDB=góc IAC(2)
từ (1) và (2) =>góc PQI= góc IAC
=>tgPQI đồng dạng tgCAI(g.g)
=>PI/CI=QI/AI
=>IP.IA=IC.IQ
=>phương tích của điểm I đối vs (O) và (J) = nhau
=>I nằm trên trục đẳng phương EF của 2 đg tròn
Vậy I,E,F thằng hàng(dpcm)
1) Xét (O):
MA là tiếp tuyến (\(d_1\) là tiếp tuyến; \(M,A\in d_1\)).
\(\Rightarrow MA\perp AB.\Rightarrow\widehat{MAB}=90^o.\)
hay \(\widehat{MAI}=90^o.\)
Xét tứ giác AMEI:
\(\widehat{MAI}+\widehat{MEI}=90^o+90^o=180^o.\)
Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau.
\(\Rightarrow\) Tứ giác AMEI nội tiếp đường tròn.
2) Ta có:
I là trung điểm của OA (gt).
\(\Rightarrow IA=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{1}{2}R.\)
Mà \(R=\dfrac{1}{2}AB\left(AB=2R\right).\)
\(\Rightarrow IA=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{4}AB.\)
Mà \(IB=AB-\dfrac{1}{4}AB=\dfrac{3}{4}AB.\)
\(\Rightarrow IB=3IA.\)
Xét (O):
\(\widehat{EBN}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{EB}\) (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây).
\(\widehat{EAB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{EB}\) (Góc nội tiếp).
\(\Rightarrow\widehat{EBN}=\widehat{EAB}.\)
hay \(\widehat{EBN}=\widehat{EAI}.\)
Ta có: \(EI\perp EN\left(gt\right).\Rightarrow\widehat{IEN}=90^o.\)
\(\Rightarrow\widehat{IEB}+\widehat{BEN}=90^o.\) (1)
Xét (O):
AB là đường kính (gt).
\(E\in\left(O\right)\left(gt\right).\)
\(\Rightarrow\widehat{AEB}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\(\Rightarrow\widehat{AEI}+\widehat{IEB}=90^o.\) (2)
Tứ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{BEN}.\)
Xét \(\Delta AEI\) và \(\Delta BEN:\)
\(\widehat{AEI}=\widehat{BEN}\left(cmt\right).\)
\(\widehat{EAI}=\widehat{EBN}\left(cmt\right).\)
\(\Rightarrow\Delta AEI\sim\Delta BEN\left(g-g\right).\)
\(\Rightarrow\dfrac{EI}{EN}=\dfrac{AI}{BN}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ).
\(\Rightarrow EI.BN=AI.EN.\\ \Rightarrow3EI.BN=3AI.EN.\\ \Rightarrow3EI.BN=IB.EN.\)
Vì D,E là trung điểm của BC và MN nên ta có OD vuông góc với BC và OE vuông góc với MN
VÌ góc ODA + góc OEA = 90 độ + 90 độ = 180 độ nên ODAE là tứ giác nội tiếp
Suy ra A,D,O,E cùng thuộc 1 đường tròn. (đường tròn đường kính AO)
Bạn tự vẽ hình nha!!!
a) Xét\(\Delta OME\) và \(\Delta ONF\) có:
\(\widehat{OME}=\widehat{ONF}=90^o\) (d1 và d2 là tiếp tuyến của (O;R))
OM=ON( cùng =R )
\(\widehat{MOE}=\widehat{NOF}\) (2 góc đối đỉnh)
=> \(\Delta OME=\Delta ONF\) (cạnh huyền-góc nhọn)
=> ME=NF( 2 cạnh tương ứng )
b) Vì \(\Delta OME=\Delta ONF\) (c/m trên) => OE=OF (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta EFK\) có: OK là trung tuyến ứng vs EF (OE=OF)
đồng thời OK là đg cao ứng vs EF(gt)
=> \(\Delta EFK\) cân tại K (Nếu một tam giác có đg trung tuyến ứng vs 1 cạnh đồng thời là đg cao ứng vs cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác cân)
c) Vì \(\Delta EFK\) cân tại K (c/m trên) => \(\widehat{KEF}=\widehat{KFE}\)
Hay \(\widehat{IEO}=\widehat{NFO}\)
Xét \(\Delta OEI\) và \(\Delta OFN\) có:
\(\widehat{OIE}=\widehat{ONF}=90^o\) (\(OI\perp EK \) tại I; d2 là tiếp tuyến của (O;R))
OE=OF (c/m trên)
\(\widehat{IEO}=\widehat{NFO}\) (c/m trên)
=> \(\Delta OEI=\Delta OFN\) (cạnh huyền-góc nhọn)
=> OI=ON (2 cạnh tương ứng) => OI=R (vì ON=R)
Xét đg tròn (O;OI) có: \(OI\perp EK\) tại I (gt)
=> EK là tiếp tuyến của đg tròn (O;R)
d) Hình như đề bạn sai thì phải. Theo mk nghĩ phải là chứng minh tích EM.KN ko đổi ms đúng bạn à... Nếu mk đúng thì ok! :)
Xét đg tròn (O), tiếp tuyến ME,EI,IK,KN có:
ME cắt EI tại E => OE là phân giác của \(\widehat{MOI}\) => \(\widehat{MOE}=\widehat{IOE}\) (1)
IK cắt KN tại K => OK là phân giác của \(\widehat{NOI}\) => \(\widehat{IOK}=\widehat{NOK}\) (2)
Xét \(\Delta MOE\) vuông tại M( d1 là tiếp tuyến của (O;R)) có: \(\widehat{MOE}+\widehat{MEO}=90^o\) (3)
Mặt khác \(\widehat{IOE}+\widehat{IOK}=\widehat{EOK}=90^o\) (4)
Từ (1),(2),(3) và (4) => \(\widehat{MEO}=\widehat{NOK}\)
Xét \(\Delta OME\) và \(\Delta KNO\) có:
\(\widehat{OME}=\widehat{KNO}=90^o\) (d1 và d2 là tiếp tuyến của (O;R))
\(\widehat{MEO}=\widehat{NOK}\) (c/m trên)
=> \(\Delta OME\) đồng dạng vs \(\Delta KNO\left(g.g\right)\)
=> \(\frac{OM}{KN}=\frac{EM}{ON}\) => EM.KN=OM.ON
Mà OM.ON ko đổi => EM.KN ko đổi khi d quay quanh điểm O
Cau a,b bạn tự cm nha
c) cm tam giac IOE= tam giac NOF(g-c-g)
=> OI=ON=R=> EK la tiep tuyen
d) xet tam giac EOK vuong tai O(gt)
\(OM^2=EI\cdot IK\left(hethucluong\right)\)
\(\Leftrightarrow R^2=ME\cdot KN\)
ma R khong doi => ME*KN khong doi
Vay EM, KN khong doi khi d quay quanh O
a/
\(d_1;d_2\) là tiếp tuyến với đường tròn tại A và B \(\Rightarrow d_1\perp AB;d_2\perp AB\) => \(d_1\)//\(d_2\)
Xét tg vuông ABK có
\(\widehat{ACB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow AK^2=KC.KB\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
b/
Ta có
DA=DC (2 tiếp tuyến của 1 đường tròn cùng xuất phát từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau) (1)
EC=EB (lý do như trên) => tg EBC cân tại E\(\Rightarrow\widehat{ECB}=\widehat{KBE}\) (2 góc ở đáy của tg cân) (*)
\(\widehat{KBE}=\widehat{AKB}\) (góc so le trong) (**)
\(\widehat{KCD}=\widehat{ECB}\) (Góc đối đỉnh) (***)
Từ (*) (**) và (***) \(\Rightarrow\widehat{AKB}=\widehat{KCD}\) => tg DCK cân tại D => DC=DK (2)
Từ (1) và (2) => DA=DK nên K là trung điểm của AK
c/ Gọi I là giao của CH với BD
Ta có
\(CH\perp AB;d_1\perp AB\) => CH//\(d_1\)
\(\Rightarrow\frac{IC}{DK}=\frac{BC}{BK}=\frac{BH}{BA}=\frac{IH}{DA}\) (Talet trong tam giác)
Mà DK=DA => IC=IH => BD đi qua trung điểm I của CH
d/
câu a ý số 2 bạn còn cách nào khác ko? Tại mk chx hc góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
