Cho x,y >0 t/m x+y=1
Tìm min \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 9 2020
\(A\ge\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\right)^2=\frac{100}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
VT
22 tháng 10 2019
M= \(x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\)
\(xy+\frac{1}{xy}=xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy}\ge2\sqrt{xy.\frac{1}{16xy}}+\frac{15\left(x+y\right)}{16xy}=\frac{1}{2}+\frac{15}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge\)\(\frac{1}{2}+\frac{15}{16}.\frac{4}{x+y}=\frac{1}{2}+\frac{15}{16}.4=\frac{17}{4}\) => M\(\ge\frac{17^2}{4^2}\)
dấu '=' khi xy = \(\frac{1}{16xy};x=y=>x=y=\frac{1}{2}\)
22 tháng 10 2020
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=\frac{x^2y^2+1}{y^2}.\frac{y^2x^2+1}{x^2}=\frac{\left(x^2y^2+1\right)^2}{x^2y^2}\)
\(=\frac{x^4y^4+2x^2y^2+1}{x^2y^2}=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\)
ta có:\(xy+\frac{1}{xy}=16xy+\frac{1}{xy}-15xy \left(1\right) \)
mặt khác:\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow-15xy\ge-\frac{15}{4} \left(2\right)\)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:\(16xy+\frac{1}{xy}\ge2\sqrt{16xy.\frac{1}{xy}}=8 \left(3\right)\)
từ (1), (2), (3) ta có\(xy+\frac{1}{xy}\ge8-\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\Rightarrow\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\ge\frac{289}{16}\)
vậy \(M_{min}=\frac{289}{16}\)đạt được khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
23 tháng 5 2019
\(\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=2+x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\)
Áp dụng bđt AM-GM và bđt Cauchy-Schwarz:
\(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}=x^2y^2+\frac{1}{16x^2y^2}+\frac{15}{16x^2y^2}\)
\(\ge2\sqrt{x^2y^2.\frac{1}{16x^2y^2}}+\frac{15}{16x^2y^2}=8+\frac{15}{16x^2y^2}\)
Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow x^2y^2\le\frac{1}{16}\Rightarrow16x^2y^2\le1\Rightarrow\frac{15}{16x^2y^2}\ge15\)
\(\Rightarrow8+\frac{15}{16x^2y^2}\ge23\)
\("="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
23 tháng 5 2019
bạn thay x=1-y rồi thay vào H sau đó làm bình thường nhé
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 5 2019
\(I=2+x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
\(I=2+x+\frac{1}{2x}+y+\frac{1}{2y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(I\ge2+2\sqrt{\frac{x}{2x}}+2\sqrt{\frac{y}{2y}}+2\sqrt{\frac{xy}{xy}}+\frac{1}{2}.\frac{4}{\left(x+y\right)}\)
\(I\ge4+2\sqrt{2}+\frac{2}{x+y}\ge4+2\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}=4+3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow I_{min}=4+3\sqrt{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
PT
11 tháng 5 2019
\(K=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
Ta có: \(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge4\)
\(\Rightarrow\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge4\)
\(\Rightarrow M\ge8\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 5 2019
\(K\ge\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2=\frac{1}{2}\left(4x+\frac{1}{x}+4y+\frac{1}{y}-3\left(x+y\right)\right)^2\)
\(K\ge\frac{1}{2}\left(2\sqrt{\frac{4x}{x}}+2\sqrt{\frac{4y}{y}}-3.1\right)^2=\frac{25}{2}\)
\(\Rightarrow K_{min}=\frac{25}{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
24 tháng 11 2021
\(1,\) Áp dụng BĐT: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\text{ và }\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y\)
\(A=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2+17\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2+17\\ A\ge\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2+17\ge\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{4}{a+b}\right)^2+17=\dfrac{25}{2}+17=\dfrac{59}{2}\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\dfrac{1}{a}=b+\dfrac{1}{b}\\a+b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
24 tháng 11 2021
\(2,\text{Đặt }A=\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\\ \Leftrightarrow A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+2\left(\dfrac{xy^2z}{xz}+\dfrac{xyz^2}{xy}+\dfrac{x^2yz}{yz}\right)\\ \Leftrightarrow A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\\ \Leftrightarrow A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+6\)
Áp dụng Cosi: \(\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}\ge2y^2\)
CMTT: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}\ge2z^2\\\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}\ge2x^2\end{matrix}\right.\)
Cộng VTV \(\Leftrightarrow A^2\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)+6=12\\ \Leftrightarrow A\ge2\sqrt{3}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)
23 tháng 2 2020
?Amanda?, Phạm Lan Hương, Phạm Thị Diệu Huyền, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương
giúp e với ạ! Cần trước 5h chiều nay! Cảm ơn mn nhiều!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 2 2020
Tranh thủ làm 1, 2 bài rồi ăn cơm:
1/ Đặt \(m=n-2008>0\)
\(\Rightarrow2^{2008}\left(369+2^m\right)\) là số chính phương
\(\Rightarrow369+2^m\) là số chính phương
m lẻ thì số trên chia 3 dư 2 nên ko là số chính phương
\(\Rightarrow m=2k\Rightarrow369=x^2-\left(2^k\right)^2=\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)\)
b/
\(2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)=a^4+b^4\) \(\left(a+b>2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le4\left(a+b-2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\le0\Rightarrow a=b=2\)
\(\Rightarrow x=y=4\)
Trả lời :
Bn tham khảo link này ạ :
Câu hỏi của Cuồng Song Joong Ki - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Bài lm của bn : ★Ƙ - ƔƤČ★ - Trang của ★Ƙ - ƔƤČ★ - Học toán với OnlineMath nhé !
Chúc bn hc tốt <3
( Dô thống kê hỏi đáp sẽ thấy )