Question

[Kim TAE TAE]

cho phương trình: 2x²+2(m+1)x+m² +4m+3=0 có 2 nghiệm là x₁ và x₂.

Tìm max A= |x₁x₂ - 2x₁-2x₂|

Answer 1

[Vũ Tiến Manh]

\(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4.2.\left(m^2+4m+3\right)\)= -4m²-24m-20 = (-4m-4)(m+5)

phương trình có 2 nghiệm => (-4m-4)(m+5) >0 <=> (4m+4)(m+5) <0 <=> -5 < m < -1

A = \(|\frac{c}{a}-2.\frac{-b}{a}|=\left|\frac{2b+c}{a}\right|\)

= |\(\frac{4\left(m+1\right)+m^2+4m+3}{4}\)| = |\(\frac{m^2}{4}+2m+\frac{7}{2}\)| = | (\(\frac{m}{2}+2\))² -\(\frac{1}{2}\)|

(m+2)²-\(\frac{1}{2}\ge0< =>\orbr{\begin{cases}m\ge\sqrt{2}-4\\m\le-\sqrt{2}-4\end{cases}}\)kết hợp với -5<m<-1 ta được \(\sqrt{2}-4\le m< -1\)  

=> (m+2)²-\(\frac{1}{2}< 0< =>-5< m< \sqrt{2}-4\)

xét m \(\in\)[\(\sqrt{2}-4;-1\)) => A \(=\left(m+2\right)^2-\frac{1}{2}\)\(\le\left(\sqrt{2}-4+2\right)^2-\frac{1}{2}=\frac{11}{2}-4\sqrt{2}\)(A max khi m= \(\sqrt{2}-4\))

xét m \(\in\left(-5;\sqrt{2}-4\right)\)=> A= \(\frac{1}{2}-\left(m+2\right)^2\le\frac{1}{2}\)( A max khi m = -2)

mà \(\frac{11}{2}-4\sqrt{2}< \frac{1}{2}\)=> A max =\(\frac{1}{2}\) khi m = -2

Answer 2

[Kim TAE TAE]

phương trình 2x²+2(m+1)x+m²+4m+3 là phương trình bậc hai nên ta có:

 \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2\left(m^2+4m+3\right)\)

\(\Delta'=m^2+2m+1-2m^2-8m-6\)

\(\Delta'=-m^2-6m-5\)

vì PT có nghiệm x₁ và x₂ nên \(\Delta'\ge0\)  _{\(hay\)   \(-m^2-6m-5\ge0\Leftrightarrow m^2+6m+5\le0\)}

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m+5\right)\le0\Leftrightarrow-5\le m\le-1\)   \(\left(1\right)\)

Áp dụng định lí Vi - ét: \(\hept{\begin{cases}s=-m-1\\p=\frac{m^2+4m+3}{2}\end{cases}}\)

Ta có: A = |x₁.x₂ -2x₁-2x₂| = |p-2s| 

<=> A = \(|\frac{m^2+4m+3}{2}-2\left(-m-1\right)|\)

<=> A= \(\left|\frac{m^2+4m+3+4m+4}{4}\right|\)

<=> A= \(\frac{1}{2}\left|m^2+8m+7\right|\)

<=> A= \(\frac{1}{2}\left|\left(m+1\right)\left(m+7\right)\right|\)

xét tích (m+1)(m+7) ta có:  

Từ (1) \(-5\le m\le-1\Rightarrow\hept{\begin{cases}m+7\ge0\\m+1\le0\end{cases}}\)

=> \(\left(m+1\right)\left(m+7\right)\le0\)

Suy ra: |(m+1)(m+7)| = -(m+1)(m+7)

Khi đó: \(A=\frac{-1}{2}\left(m+1\right)\left(m+7\right)\)

\(A=\frac{-1}{2}\left(m^2+8m+7\right)=\frac{-1}{2}\left(m^2+8m+16-9\right)\)

\(A=\frac{-1}{2}\left[\left(m+4\right)^2-9\right]=\frac{9}{2}-\frac{\left(m+4\right)^2}{2}\le\frac{9}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m+4 =0 <=>m=-4   (thỏa mãn điều kiện (1) )

Vậy \(maxA=\frac{9}{2}\Leftrightarrow m=-4\)